Questão 1018867

• Banca: UERJ
• Órgão: UERJ
• Ano: 2013
• Provas: UERJ - 2013 - UERJ - Vestibular - Primeiro Exame
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Geometria Espacial; Poliedros

Em um recipiente com a forma de um paralelepípedo retângulo com 40 cm de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a 0,5 cm³ . Na primeira etapa, depositou-se uma esfera; na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa.

Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezível. Considerando 2¹⁰ = 1000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do que o volume do recipiente é:

• A. 15
  
• B. 16
  
• C. 17
  
• D. 18

Gabarito: B

Comentários

• Vamos primeiro calcular o volume do paralelepípedo:

   Vp = 40 x 25 x 20 = 20000 cm³

  se cada esfera tem um volume Ve = 0,5, precisamos de um total de esferas igual á 

  Ne = 20000/0,5 = 40 000.

   Temos uma PG de razão 2, nota-se (1,2,4,...) 

  Queremos saber quando a soma do número de termos dessa PG é igual ao total de bolinhas. 

  sabendo que a soma dos termos de uma PG finita é dado por:

  onde Sn = 40 000
  a1 = 1 e q = 2
  
  daí vem a equação exponencial:
  40 000 < 2^n - 1
  2^n > 40 000

  mas se 2^10 = 1000

  temos

  2^15 = 2^5x2^10 = 32000 ainda é pouco

  2^16 = 2^6x2^10 = 64000 OPA! passou, então é esse aí!

   

  RESPOSTA LETRA B

  Fonte: http://amadurecendoafisica.blogspot.com.br/2013/06/uerj-2014-primeiro-exame-de.html
  

• Vamos começar desenhando a figura descrita no enunciado: 

                                                           
  

  Assim o volume do paralelepípedo será V_p= 20x25x40x = 20000cm³      

  
  

  ^{De acordo com o enunciado, podemos representar o volume  total das esferas do seguinte modo:}

                                             
  

  
  

  ^{colocando o 0,05 em evidência:}

                                         
  
  

  ^{Reparem que dentro dos colchetes, temos uma soma finita de uma PG, onde  a}₁ ^{= 1 e q = 2}

                                                                          
  
  

  ^{Logo, Substituindo}

                                                                          
  
  

  ^{Como Ve > Vp}

                                                                              
  
  

  ^{Então, resolvendo a equação exponencial acima encontramos n  ≥ 16}
  
  

  ^{Letra B}