Questão 109012

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: Banco do Brasil
• Ano: 2010
• Provas: CESGRANRIO - 2010 - Banco do Brasil - Escriturário
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Probabilidade

Uma urna contém 5 bolas amarelas, 6 bolas azuis e 7 bolas verdes. Cinco bolas são aleatoriamente escolhidas desta urna, sem reposição. A probabilidade de selecionar, no mínimo, uma bola de cada cor é

• A.
• B.
• C.
• D.
• E.

Gabarito: B

Comentários

• De acordo com minha professora de cursinho essa questao devera ser anulada pois nao tem resposta no gabarito, vamos aguardar.

• A probabilidade de selecionar no mínimo uma bola de cada cor é o mesmo que o complementar da probabilidade de retirar as 5 bolas da mesma cor ou retirar as 5 bolas de apenas duas cores. Assim,

  Seja  ( ⁿ_p ) a combinação de n elementos tomados p a p.

  5 bolas de apenas duas cores podem ser retiradas das seguintes maneiras:

  I) Azuis e Vermelhas -> 6 azuis + 7 vermelhas = 13, então temos (¹³₅)

  II) Amarelas e Vermelhas -> 5 amarelas + 7 vermelhas = 12, então temos (¹²₅)

  III) Amarelas e Azuis -> 5 amarelas + 6 azuis = 11, então temos (¹¹₅)

  Como em cada combinação acima foram contadas as ocorrências de todas as bolas da mesma cor, assim, ao somarmos as combinações devemos retirar as ocorrências repetidas. Ou seja,

  De I + II + III devemos retirar a ocorrência de todas as bolas amarelas, todas vermelhas e todas azuis, que são dadas pelas combinações abaixo:

  IV) Todas Verdes -> (_⁷5)

  V) Todas Azuis -> (⁶₅)

  VI) Todas Amarelas -> (⁵₅)

  O espaço amostral S é dado pelo número de combinações dos 18 elementos (5 bolas amarelas, 6 azuis e 7 vermelhas) tomados 5 a 5, ou seja, (¹⁸₅).

  Chamemos E a probabilidade de retirarmos ao menos uma bola de cada cor no espaço amostral S. Assim, a probabilidade complementar do evento E é definida por P(E) = 1 - P(E).

  Como E = I + II + III - IV - V - VI,

  P(E) = I + II + III - IV - V - VI  /  S

  Assim, a probabilidade requerida pelo enunciado pode ser escrita como se segue,

  P(E) = 1 - (   (¹³₅) + (¹²₅) + (¹¹₅) - (⁷₅) - (⁶₅) - (⁵₅)  /  (¹⁸₅)  )

  Alternativa B.

   

   

• Somente corrigindo o raciocínio do colega acima
  

  1. Retirada de 5 bolas onde apareçam “exatamente” duas cores.

  Podem ser retiradas das seguintes maneiras:
  I) Azuis e Verdes -> (¹³₅) - (⁶₅)- (⁷₅)  [descontam-se todas as bolas azuis e todas verdes]
  II) Amarelas e Verdes -> (¹²₅) - (⁷₅)- (⁵₅) [menos todas amarelas e todas verdes]
  III) Amarelas e Azuis -> (¹¹₅) - (⁵₅) - (⁶₅) [menos todas amarelas e todas azuis]
  

  2. Retirada de 5 bolas onde apareçam “exatamente” 1 cor.

  IV) Todas Verdes -> (⁷₅)
  V) Todas Azuis -> (⁶₅)
  VI) Todas Amarelas -> (⁵₅)
  
     Seja E = número de eventos de tirar 5 bolas, onde elas podem ser todas de 1 cor só, ou elas podem ter 2 exatamente 2 cores entre elas:
  
  E = I + II + III + IV + V + VI
  E = (¹³₅) - (⁶₅)- (⁷₅)  +(¹²₅) - (⁶₅)- (⁵₅)+ (¹¹₅) - (⁵₅) - (⁶₅)+ (⁷₅)+ (⁶₅)+ (⁵₅)  <=>
  E = (¹³₅) +(¹²₅) +(¹¹₅) - (⁵₅) - (⁶₅) - (⁷₅)
  
  O espaço amostral S é dado pelo número de combinações dos 18 elementos (5 bolas amarelas, 6 azuis e 7 verdes) tomados 5 a 5, ou seja, (¹⁸₅).
  
  Chamemos P(~E) a probabilidade de retirarmos ao menos uma bola de cada cor no espaço amostral S.
  
  Assim, a probabilidade complementar do evento E é definida por P(~E) = 1 - P(E).
  
  Como P(E) = (I + II + III + IV + V + VI)/S,
  
  Assim, a probabilidade requerida pelo enunciado pode ser escrita como se segue,
  P(E) = 1 - (   (¹³₅) + (¹²₅) + (¹¹₅) - (⁷₅) - (⁶₅) - (⁵₅)  /  (¹⁸₅)  )
                 
  Alternativa B
  

• F****, ai a gente pula!

• Então, tenho muita dificuldade em questões de combinação,
  mas se observarem bem, o fato de saber que a propriedade: P(x) = 1 - P(x),   já nos dá a chance de 50% no chute, pois só há duas alternativas com 1-.  Fica a Dica : )

• A questão é de probabilidade. Neste caso, descobrir a probabilidade deste evento ocorrer é mais difícil do que calcular a probabilidade de TODOS os outros eventos ocorrerem. Portanto, calculamos a chance de eventos desfavoráveis ocorrerem e subtraimos isto do total (1).

  
  

  Total de possibilidades C(18,5) (combinação )
  Casos desfavoráveis
  C(13,5) = apenas azuis ou verdes (6 azuis+ 7 verdes = 13 bolas; 5 escolhidas, podendo todas de uma só cor)
  C(12,5) = apenas amarelas ou verdes (mesmo raciocínio de antes)
  C(11,5) = apenas amarelas ou azuis (mesmo raciocínio de antes)
  - C(7,5) = todas verdes (este valor esta repetido)
  - C(6,5) = todas azuis (este valor esta repetido)
  - C(5,5) = todas amarelas (este valor esta repetido)
  Probabilidade = 1 - [C(13,5) +C(12,5) +C(11,5) - C(7,5) - C(6,5) - C(5,5)] / C(18,5) = 865/1224 =~ 0,7067

  
  

• Show Graziela muito obrigada pela dica .

  
  

• De acordo com o enunciado, verifica-se que trata-se de uma questão de Probabilidade.
  Entretanto, o candidato deve se atentar para as opções dadas visando uma solução mais eficiente.
  Além disso, para de fato compreender esta questão, o candidato deve de fato relembrar os conceitos básicos e as principais propriedades da Probabilidade.
  
  Assim, tem-se que a quantidade Q de casos possíveis é dado por C_18,5 , em que as 18 bolas são dividias 5 a 5.
  
  Como cada grupo de 5 bolas deve ter pelo menos uma de cada cor, uma das maneiras de solucionar é excluir os casos desfavoráveis, como por exemplo os  grupos que contenham somente duas cores.
  a) bolas amarelas e azuis: C_11,5
  b) bolas amarelas e verdes: C_12,5
  c) bolas azuis e verdes: C_13,5
  
  Entretanto, nos casos acima os grupos que possuem bolas de mesma cor estão contados duas vezes. Deve-se então retirá-los.
  a) bolas amarelas: C_5,5
  b) bolas azuis: C_6,5
  c) bolas verdes: C_7,5
  
  Finalizando, como a probabilidade (P) máxima de um evento ocorrer é igual a 1 e no caso em questão irá se desconsiderar os casos desfavoráveis, tem-se:
  
  P = 1 - (C_11,5 + C_12,5 + C_13,5 - C_5,5 - C_6,5 - C_7,5) / C_18,5)
  
  Resposta B)
  
  
  

• ??????????????????????

• A gente parte do princípio do 1 - Oq não quero = Oq quero

  1 é a probabilidade total (100%)

  Agora começamos:

  Qual meu total de bolas? 18

  Quantas bolas de cada cor eu tenho? 7 Verdes, 6 Azuis e 5 Amarelas

   

  O que não quero, nesse caso é:

  Todas as bolas sendo de uma cor só:

  -Todas Verdes (7/18)

  -Todas Azuis (6/18)

  -Todas Amarelas (5/18)

  Que a questão representa como

  7 6 5 Cores

  5 5 5 Vezes que aparecem

  18 ㅤUniverso total

  As bolas sendo de apenas duas cores

  -Sendo apenas Verdes e Azuis (7+6= 13, então: 13/18)

  -Sendo apenas Verdes e Amarelas (7+5= 12, então: 12/18)

  -Sendo apenas Azuis e Amarelas (6+5= 11, então: 11/18)

  Que a questão representa como

  13 12 11 Cores

  5ㅤ5ㅤ5 Vezes que aparecem

  ㅤ18ㅤㅤUniverso total

   

  Na fórmula fica:

  ㅤ13+12+11-7-6-5 Cores

  1- 5ㅤ5ㅤ5ㅤ5 5 5 Vezes que aparecem

  ㅤㅤㅤㅤ18 ㅤㅤㅤUniverso Total

   

  Gabarito (B)

• Eu só não entendi aquele - 1 ali, errei por conta disso.

• Entendi nada:(

• Galera, gravei um vídeo comentando esta questão

  https://youtu.be/rDTTQOBJYWY

• Questão resolvida no vídeo abaixo

  https://www.youtube.com/watch?v=1GfkgZo1Eok

  Bons estudos!

• Resposta: alternativa B.

  Comentário no canal “Acervo Exatas - Questões de Concurso” no Youtube: 

  https://youtu.be/1GfkgZo1Eok