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x^3 + ax^2 - x +b = (x - 1) · q(x)
Adotando H(x) = x^3 + ax^2 - x + b
Ele afirma que 1 e 2 são raízes de H(x), portanto:
H(1) = 0 e H(2) = 0, jogando esses valores você acha um sistema e encontra a = -1 e b = 1
Logo, H(x) = x^3 -x^2 - x + 1
daí, q(x) = H(x)/(x-1)
então você encontra Q(x) = x^2 - 1
x^2 - 1 = 0
x = +-1
para q(x) assumir valores negativos, como pedido, x deve estar entre -1 e 1, pois entre as raízes de uma função de segundo grau com o "a" positivo estão os valores negativos... A unica alternativa que atende isso é a (C)
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Gabriel Cabral, o seu sistema forneceu um valor equivocado. Por Briot-Ruffini é mais fácil, pois, pelo Teorema do Resto, sabemos que o resto da divisão de um polinômio P(x) qualquer d(x), cujo grau seja menor do que o de P(x), terá como resto P(r) tal que r é a raiz do polinômio divisor, d(x). Assim, na questão, como x³+ax²-x+b tem 1 como raiz, deduzimos que ele é divisível por (x-1), pois o resto será 0 . Divindo por Briot-Ruffini teremos como resto o valor (a+b) que sabemos ser igual a 0. Fazendo o mesmo raciocínio para a raiz 2, deduzindo que (x-2) é divisível e achando o resto... chegamos ao valor de (6+4a+b) para o resto da divisão, a qual também sabemos ter como valor resultante 0. Agora temos duas equações: a+b=0 e 6+4a+b=0. Logo descobrimos que a=-b e substituindo esse valor na segunda equação e, com o conhecimento de sistemas lineares, a desenvolvendo encontraremos que a=-2 e b=2.
Então sabendo o valor de a e b, sabemos também que o polinômio do enunciado é x³-2x²-x+b. E basta dividi-lo por x-1 para obter o valor de q(x). Pela divisão comum entre polinômios chegamos que o quociente é igual a x²-x-2.
Com o valor de q(x), agora podemos achar suas raízes e determinar em qual intervalo a imagem é negativa. Por soma e produto sabemos que x+x'=1 e que x.x'=-2. Basta agora buscar nas alternativas um valor que satisfaça a igualdade ou acha-los mentalmente. De uma forma ou de outra chegaremos ao intervalo [-1;2].
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Faz o teorema do resto com as 2 raizes que ele te deu.
você vai achar a = -2 e b = 2
fica
x³ -2x² -x +2 = (x - 1).q(x)
passa dividindo
realizando a divisão dos polinomios, vai encontrar o quociente = q(x)
q(x) = x² - x - 2
aplica Bhaskara que você acha as raízes 2 e -1
o intervalo menor ou igual a 0 é entre essas duas, letra C