Questão 1152562

• Banca: UFGD
• Órgão: UFGD
• Ano: 2010
• Provas: UFGD - 2010 - UFGD - Vestibular - Prova 1
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Análise Combinatória em Matemática

A Liga de Futebol do Pantanal organizou um torneio com os times da primeira divisão num sistema no qual cada time joga uma única vez com todos os demais. Quando a tabela de jogos já estava organizada, 2 times da divisão inferior conseguiram no "tapetão" o direito de participar, e isso obrigou a Liga a incluir na tabela mais 37 jogos. Pode-se concluir que o número de jogos na tabela inicial era de

• A. 153
• B. 173
• C. 163
• D. 136
• E. 157

Gabarito: A

Comentários

• O presente problema envolve a combinação, dois a dois, de n times de futebol, que dá o total de jogos.

  Assim, inicialmente, temos:

  Cn,2 = n! / [2!(n-2)!] (total de "x" jogos com os times da primeira divisão)

  Com o acréscimo de mais dois times por tapetão, o total de jogos fica assim:

  Cn+2,2 = (n+2)! / [2! (n+2-2)!] (total de "x+37" jogos, decorrente do acréscimo de mais dois times da segunda divisão)

  Resolvendo as duas combinações, teremos o seguinte sistema de equações:

  n^2 - n = 2x

  n^2 + 3n + 2 = 2x + 74

  Substituindo o valor de 2x da primeira equação na segunda, tem-se que:

  n^2 + 3n + 2 = n^2 - n + 74

  4n = 72

  n = 18

  Usando o valor de n = 18 na combinação que dá o total de jogos dos times da primeira divisão, encontramos o valor pedido pelo problema:

  Cn,2 = n! / [2!(n-2)!] = x

  C18,2 = 18! / [2! (18 -2)!] = x

  x = (18 x 17 x 16!) / (2 x 1 x 16!)

  x = (18 x 17) / 2

  x = 153

  Resposta: Letra A