f(x,y) é diferente de f(x)*f(y), portanto não são independentes
primeiro fazer integral dupla de f(x,y)dxdy com x variando de 0 a y e y variando de 0 a 1
isso para encontrar constante c
depois de encontrar constante c
faça f(x) = integral de f(x,y) dy e reciprocamente para f(y)
Gabarito: Errado.
Na Q398090 eu mostrei como é feito o cálculo da constante de normalização.
Apenas relembrando, a constante de normalização (c) vale 2.
Da teoria das distribuições conjuntas contínuas, diz-se que duas variáveis X e Y que se distribuem conjuntamente são independentes se o produto de suas distribuições marginais corresponde a função de probabilidade conjunta.
Matematicamente:
Se X,Y são independentes, então: f(y)f(x) = f(x,y).
Para calcular a função marginal de Y, é preciso pegar a função conjunta e integrar em relação a x.
De igual maneira, para calcular a função marginal de X, é preciso pegar a função a conjuntar e integrar em relação Y.
Calculando a distribuição marginal de Y:
f(y) = ∫ 2 dx no intervalo de 0 até y
∫ 2 dx = 2x no intervalo de 0 até y
2x no intervalo de 0 até y = 2y.
Portanto, f(y) = 2y.
Calculando a distribuição marginal de X:
f(x) = ∫ 2 dy no intervalo de x até 1.
∫ 2 dy = 2y no intervalo de x até 1.
2y no intervalo de x até 1 = 2 - 2x.
Portanto, f(x) = 2 - 2x.
Multiplicando as distribuições marginais:
f(x)f(y) = (2-2x)(2y)
f(x)f(y) = 4y - 4xy.
A nossa função f(x,y) = 2. Logo, f(x)f(y) ≠ f(x,y).
Portanto, diante do exposto, como f(x)f(y) ≠ f(x,y), podemos afirma que as variáveis NÃO são independentes. Na verdade, as variáveis X e Y são dependentes.
Espero ter ajudado.
Bons estudos!