O cone reto é formado por dois triângulos retângulos de catetos H e R e hipotenusa G. Como pelo enunciado H, R e G são uma progressão aritmética, temos:
H = x, R = x+2 e G = x+4.
Temos então que
x² + (x+2)² = (x+4)²
x² + x² + 4x + 4 = x² + 8x + 16
x² - 4x - 12 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau, encontraremos duas raízes:
x' = 6
x'' = -2 (Não serve)
Então a altura do cone é 6 cm, o raio da base é 8 cm e a geratriz é 10 cm.
O volume do cone é V = (1/3) Ab x H
V = 1/3 (πr² x H)
Substituindo os valores:
V = 1/3 (8²π * 6)
V = 128π
Resposta: Alternativa D.
Para resolver essa questão é necessário saber que no cone reto existe a relação GERATRIZ² = ALTURA²+RAIO².
Sabendo disso, fica fácil responder a questão.
Já que altura, raio e geratriz formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, podemos escrever da seguinte forma:
ALTURA = X
RAIO = X + 2
GERATRIZ = X + 4
Agora podemos formar a seguinte equação (x+4)² = (x)² + (x+2)².
Resolvendo: X² + 8X + 16 = X² + X² + 4X + 4
2X² - X² + 4X - 8X -16 + 4 = 0
* X² - 4X - 12 = 0 ( EQUAÇÃO DO 2º GRAU)
Δ = (-4)² - 4 .(1) . (-12) = 16+48 = 64
X = - (-4)±√64 / 2(1)
X' = (4 + 8) / 2 = 6
X" = (4 - 8) / 2 = -2 (Não serve).
ENTÃO CONCLUÍMOS QUE A ALTURA = 6, RAIO = 8 E A GERATRIZ É IGUAL A 10.
AGORA PODEMOS CALCULAR O VOLUME DO CONE:
VOLUME = (π . R² . H) / 3
(π . 8² . 6) / 3 = 128 π , PORTANTO GABARITO LETRA D.