Gabarito: Letra C
Definimos uma matriz identidade como aquela que é sempre quadrada (número de linhas igual ao número e colunas) e que a sua diagonal principal possui valores iguais. Abaixo trago um exemplo de matriz identidade:
1---0---0
0---1---0
0---0---1
Veja que a diagonal principal é preenchida com o número 1, e o restante é preenchido com zeros. Agora, podemos analisar cada alternativa:
a) Errada: de acordo com o que vimos acima, uma matriz identidade possui o número de linhas igual ao número de colunas.
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b) Errada: a matriz identidade é sempre idempotente. Ou seja, I×I=I
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c) Correta: para uma matriz ser simétrica, ela precisa ser igual à sua transposta, ou seja, A=AT. Já uma matriz é ortogonal se a sua transposta for sempre igual à sua inversa, quando A-1=AT. Quando estamos diante de uma matriz identidade, esses dois conceitos se aplicam, pois, I=I-1=IT. Desta forma, podemos concluir que a matriz identidade é simétrica e ortogonal.
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d) Errada: a matriz identidade é diagonal, pois os termos fora da diagonal principal são todos nulos, o que é válido para a matriz identidade. Porém, ela é simétrica, conforme vimos acima e não assimétrica. Vou trazer abaixo a matriz identidade, sua oposta e a transposta:
----1---0---0
I= 0---1---0
----0---0---1
__________________
---------1---0---0
I^T= 0---1---0
---------0---0---1
__________________
-------- (-1)---0---0
I^-1= 0--(-1)---0
---------0-----0----(-1)
Veja que a matriz transposta não é igual a aposta. Assim, ela não é assimétrica.
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e) Errada: Os autovalores de uma matriz diagonal são os termos que contam na diagonal principal. Desta forma, em uma matriz identidade, temos os autovalores iguais a 1.
Fonte: ESTRATÉGIA CONCURSOS