Questão 1403227

• Banca: FGV
• Órgão: TJ-BA
• Ano: 2015
• Provas: FGV - 2015 - TJ-BA - Analista Judiciário - Estatística
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Variável aleatória discreta

Sejam X, Y e Z três variáveis aleatórias que apresentam as seguintes estatísticas elementares:

Var(X) = 4, Var(Y) = 25, Var(Z) = 16, Cov(X,Y) = Cov(Z,Y), Var(Z-X) = 8 e ρ ( X, Y) = 0,6

Com base em tais informações, é correto afirmar que:

• A. ρ ( X,Z) = 0,75 e Var ( Z + Y ) = 53 ;
• B. ρ ( X,Z) = 0,25 e Var ( Z + Y ) = 65
• C. ρ ( X,Z) = 0,80 e Var ( Z + Y ) = 41
• D. ρ ( X,Z) = 0,75 e Var ( Z + Y ) = 65
• E. ρ ( X,Z) = 0,25 e Var ( Z + Y ) = 53

Gabarito: A

Comentários

• a) Var(Z-X) = Var(Z) + Var(X) - 2 Cov(Z,X)  então COV (Z,X) = COV(X,Z) = 6

  b) Coef.Correlação = Ro  >> Ro(X,Y) = COV(X,Y) / (Raiz[Var(X).Var(Y)]  então 0,6 = COV(X,Y) /10  => COV(X,Y) = 6  

  c) Pelo enunciado, COV(X,Y) = COV(Z,Y) = 6

  Olhando as opções:

  a) Ro(X,Z) = COV(X,Z) / (Raiz [Var(X).Var(Z)] = 0,75

  b) Var (Z+Y) = Var(Z) + Var(Y) + 2 COV(Z,Y) = 16 + 25 + 2x6 = 53

  Resp.: A

• GABARITO: Letra D

  Dados informados pela banca:

  • Var(X) = 4 -> Logo, Desvio Padrão de X = 2
  • Var(Y) = 25 -> Logo, Desvio Padrão de Y = 5
  • Var(Z) = 16 -> Logo, Desvio Padrão de Z = 4
  • Var(Z-X) = 8
  • ρ ( X, Y) = 0,6
  • Cov(X,Y) = Cov(Z,Y)

  Passo 1) Calculando Cov(Z,X)

  • V(Z-X) = V(Z) + V(X) - 2*Cov(Z,X)
  • 8 = 16 + 4 - 2*Cov(Z,X)
  • -12 = -2*Cov(Z,X)
  • Cov(Z,X) = 6

  Passo 2) Calculando ρ ( X,Z) 

  • ρ ( X,Z) = [Cov(Z,X)]/(Desvio Padrão de Z * Desvio Padrão de X)
  • ρ ( X,Z) = 6/(4*2) = 3/4 = 0,75 (Letra A ou letra D)

  Passo 3) Calculando Cov(X,Y)

  • ρ ( X, Y) = Cov(X,Y)/(Desvio Padrão de X * Desvio Padrão de Y)
  • Cov(X,Y) = 0,6*2*5 = 6

  Passo 4) Calculando Var ( Z + Y ) 

  • Var ( Z + Y ) = V(Z) + V(Y) + 2*Cov(Z,Y)
  • Lembrando que o enunciado informou que: Cov(X,Y) = Cov(Z,Y)
  • Var ( Z + Y ) = 16 + 25 + 2*6 = 41+12 = 53 (Letra A)