Questão 145711

• Banca: CESGRANRIO
• Órgão: MEC
• Ano: 2009
• Provas: CESGRANRIO - 2009 - MEC - Professor - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Geometria Espacial; Poliedros

Um fabricante de sabão em pó deseja usar embalagens em forma de bloco retangular com o menor gasto possível de material, de modo que:
- uma das dimensões da base seja o triplo da outra;
- o volume seja de 2 304 cm3.

Nessas condições, a altura da caixa de sabão em pó, em cm, deve medir

• A. 11.
• B. 12.
• C. 12,5.
• D. 15.
• E. 15,5.

Gabarito: B

Comentários

• Base : x ; 3x
  Altura : h
  
  Volume = 2304 = 3x . x . h => h = 768/x^2
  
  Área da Caixa = Área (x) = 2 * ( 2304/x + 3.x^2 + 768/x)
  
  O menor gasto de material dar-se-á pelo menor valor da função Área (x)
  
  Derivando-se o parêntesis e igualando-se a zero para se achar o mínimo teremos;
  
  -2304/x^2 + 6x -768/x^2 = 0 <=> 6x = 3072/x^2 <=> 6x^3 = 3072 <=> x^3 = 512 = 2^9 <=> x = 2^3 = 8
  
  Como x=8 é o valor da área mínima, então h= 768 / 8^2 = 768 / 64  <=> h =12 . Alternativa B