O enunciado pede a probabilidade de ao menos 2 moradores sorteados (em um total de 4) já terem tido dengue. Isso significa que eu posso ter 2 moradores sorteados que já tenham tido dengue, ou posso sortear 3 que já tenham tido a doença, ou posso ter os 4 sorteados que já tenham tido a doença. Dessa forma, precisamos calcular a probabilidade de termos 2 desses moradores com a tal condição, depois a probabilidade de termos 3 moradores sorteados terem a condição e depois a probabilidade dos 4 sorteados terem tal condição. Somando as três probabilidades, chegaremos à resposta.
Esse tipo de questão está relacionado ao conceito de Distribuição Hipergeométrica, e as probabilidades são calculadas da seguinte forma:
O denominador sempre será o meu total de combinações possíveis (independentemente de os elementos possuírem ou não determinada característica). Nesse caso, eu tenho um total de 30 moradores, e irei sortear 4. Assim, o total de combinações possíveis será: C30,4 . O denominador será sempre este.
No caso do numerador, eu preciso ter um produto de combinações, e estas dependerão do valor da minha variável que eu quero calcular.
O enunciado diz que 10 moradores em 30 já tiveram dengue. Nesse caso, a primeira parcela do meu numerador sempre será uma C10,k, onde o k será o número que eu quero chegar a partir de P (X = k). A segunda parcela será sempre o complementar dessa primeira parcela, ou seja, se eu tenho um total de 30 e sei que 10 já tiveram a doença, nessa segunda parcela, a minha combinação sempre será C20,p, onde p é o complementar que me fará chegar ao total de sorteados, que no caso é 4.
P (X = 2) = (C10,2 x C20,2) / C30,4 = 0,3119
P (X = 3) = (C10,3 x C20,1) / C30,4 = 0,0876
P (X = 4) = (C10,4 x C20,0) / C30,4 = 0,0077
P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = 0,4072
Logo, nenhuma das alternativas está correta.