SóProvas

ID
184885
Banca
CESGRANRIO
Órgão
Petrobras
Ano
2010
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Certa pizzaria oferece aos clientes cinco tipos de cobertura (presunto, calabresa, frango, cebola e azeitona) para serem acrescentadas ao queijo. Os clientes podem escolher uma, duas ou três coberturas. João quer cebola em sua pizza, mas ainda não decidiu se colocará, ou não, outras coberturas. Considerando-se essas informações, de quantos modos distintos João poderá "montar" sua pizza?

Alternativas
Comentários

  • João pode montar sua pizza com uma, duas ou três coberturas.

    a) com uma cobertura

    Só tem 1 possibilidades, que é com cebola (pois essa ele quer na pizza).

     

    b) com duas cobertutas.

    Tem que ser cebola e outra. Há 4 possibilidades para essa outra opção (presunto, calabresa, frango, ou azeitona)

     

    3) com três coberturas

    Tem que ser cebola e outras duas. Para as outras duas há C(4;2) = 6 possibilidades.

     

    Somando os resultados dos três casos: 1 + 4 + 6 = 11, que é a resposta.

  • A questão não restringe a repetição de ingredientes, sendo assim a cebola poderia ser repetida, o que nos daria a solução pelo Principio Fundamental da Contagem
    _ = 1
    _ _ = 1 5 = 5
    _ _ _ = 1 5 5 = 25
    Total = 31 possibilidades

    Entretanto não há uma alternativa com 31 possibilidades, se houvesse daria ensejo para anulação da questão.

    Sendo assim só resta uma possibilidade de solução, impedindo a repetição dos ingredientes, então não podemos utilizar o PFC.
    Sairia por Arranjo? Não, pois a ordem dos ingredientes é irrelevante.
    Então a solução dar-se por Combinação.

    _ = 1
    _ _ = 1 C4,1 = 4*3!/3! = 4
    _ _ _ = 1 C4,2 = 4*3*2/2*2 = 6
    Total = 11 possibilidades
  • Olá João,

    Gostaria de fazer um comentário acerca da sua observação.

    Acredito que não seja passível de anulação caso houvesse uma alternativa com 31 possibilidades, pois se você considerar que colocando 5 diferentes coberturas logo após escolher "cebola", você estaria indicando que colocando "mais cebola" seria uma outra opção.

    Obrigado!

    Bons estudos!
  • Pessoal, uma dúvida
    quando uso Arranjo e quando uso Combinação?
  • Arranjo: a ordem é importante
    Permutação: a ordem é importante e todos os elementos são usados "ao mesmo tempo"
    Combinação: a ordem não é importante
  • Como é ingrediente de pizza não é importante a ordem, ou seja, COMBINAÇÃO!!

    Então temos:
    • Até 3 coberturas, então pode ser: (Ceb.) ou (Ceb. + 1 cobertura) ou (Ceb. + 2 coberturas) -> OU É ADIÇÃO!
    • Temos à disposição: ceb., pres., calab., fran., azeit.

    1. (Ceb.)  - Monta-se:

    Combinação de 1, 1 a 1 = 1

    2. (Ceb. e 1 cobertura) - Monta-se:

    Combinação de 4, 1 a 1 = 6  -> Não esquecendo que se tem a cebola, sobraram 4 coberturas!!!

    3. (Ceb. + 2 coberturas) - Monta-se:

    Combinação de 4, 2 a 1 = 6


    COMO DITO LÁ EM CIMA, QDO TIVER OU SOMAREMOS TODOS OS RESULTADOS:

    1 + 4 + 6 = 11


     

  • Ele ja escolheu (cebola) uma entre as 5 - C (5,1) = 5

    Ele pode escolher mais duas entre as 4 - C (4,2) = 6

    Cada e escolha é um evento portanto soma-se os eventos: 5+6=11

  • 1º cenário (só 1 cobertura): 1 possibilidade, cebola.

    2º cenário (2 coberturas): Combinação de 4 (sabores) por 1 ("vaga", já que a primeira é cebola). C4,1 = 4

    3º cenário (3 coberturas): Combinação de 4 (sabores) por 2 ("vagas", já que a primeira é cebola). C4,2 = 6

    Total: 1 + 4 + 6 = 11.

  • E O QUEIJO? ACHEI Q ENTRAVA COMO 1 SABOR

  • C5,1 = 5

    C4,2 = 6

    C5,1 + C4,2 = 11 Possibilidades

    Gabarito: B

  • Ele não já escolheu a cebola, então por que conta cebola como possibilidade?

  • C5,3 =

    (5 x 4 x 3) / (3 x 2 x 1) = 10 + 1 = 11 possibilidades

  • eu fiz assim:

    1+4+C4,2=11

    porque ele poderia escolher 1 sabor apenas (cebola), dois sabores (ele já decidiu escolher cebola então faltava apenas 4 sabores) ou poderia escolher 3 sabores( ele já escolheu cebola então poderia escolher mais 2 sabores entre 4 sabores restantes)

  • Uma possibilidade para a pizza de João é ficar com só 1 cobertura (cebola, que já está escolhida). 

    No caso de 2 coberturas, ele tem mais 4 possibilidades (os outros 4 sabores). 

    Caso ele prefira 3 coberturas, precisamos escolher 2 das 4 coberturas disponíveis. Para isto, basta combinar 4, 2 a 2: C(4, 2) = 4 x 3 / (2 x 1) = 6 possibilidades.

    Logo, temos 1 + 4 + 6 = 11 possibilidades ao todo. Repare que fizemos a soma pois temos eventos mutuamente excludentes (se João escolher pizza de 1 sabor, ele automaticamente exclui a possibilidade de a pizza ter 2 ou 3 sabores, e assim por diante).

    Resposta: B

  • Esta não entendi a explicação

  • A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à Análise Combinatória.

    Pode-se definir a Combinação da seguinte forma: contagem das possibilidades da composição de determinado subconjunto formado por p elementos distintos a partir de um conjunto global formado por n elementos distintos. Vale ressaltar que, na Combinação, a ordem dos elementos não importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é o mesmo conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo da Combinação é a seguinte:

    C (n,p) = n! / (((n – p)!) * p!).

    De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “C” a Combinação.

    Por fim, importa salientar que a expressão “!” significa fatorial, ou seja, a seguinte multiplicação:

    n! = n * (n - 1) * (n – 2) * ... * 1.

    A título de exemplo, segue a fatoração do número “5”:

    5! = 5 * (5 – 1) * (5 – 2) * (5 – 3) * (5 – 4) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.

    Referências Bibliográfica:

    1. MORGADO, Augusto C.; CARVALHO, João B. P. de; CARVALHO, Paulo Cezar P.; FERNANDEZ, Pedro – Análise Combinatória e Probabilidade – 9ª ed. – Rio de Janeiro, SBM, 1991.

    2. SANTOS, José Plínio O.; MELL, Margarida P.; MURARI, Idani T. C. – Introdução à Análise Combinatória – 4ª edição revista – Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2007.

    Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:

    1) Certa pizzaria oferece aos clientes cinco tipos de cobertura (presunto, calabresa, frango, cebola e azeitona) para serem acrescentadas ao queijo.

    2) Os clientes podem escolher uma, duas ou três coberturas.

    3) João quer cebola em sua pizza, mas ainda não decidiu se colocará, ou não, outras coberturas.

    Por fim, frisa-se que a questão deseja saber de quantos modos distintos João poderá montar sua pizza.

    Resolvendo a questão

    A partir das informações acima, pode-se concluir o seguinte:

    - Considerando que João quer cebola em sua pizza, no caso de querer apenas uma cobertura, ele terá somente 1 opção (cebola).

    - Para se descobrir a quantidade de combinações possíveis, no caso de João desejar colocar duas coberturas, considerando que ele já escolheu cebola como uma cobertura, deve ser feita a seguinte combinação: C(4,1) = (4 * 3 * 2 * 1)/(((4 - 1)!) * 1!) = 24/3! = 24/(3! * 1!) = 24/(3 * 2 * 1 * 1) = 24/6  = 4.

    - Para se descobrir a quantidade de combinações possíveis, no caso de João desejar colocar três coberturas, considerando que ele já escolheu cebola como uma cobertura, deve ser feita a seguinte combinação: C(4,2) = (4 * 3 * 2 * 1)/(((4 - 2)!) * 2!) = 24/(2! * 2!) = 24/(2 * 1 * 2 * 1) = 24/4  = 6.

    Por fim, para se descobrir de quantos modos distintos João poderá montar sua pizza, deve ser realizada a adição dos resultados encontrados acima, resultando o seguinte:

    1 + 4 + 6 = 11.

    Gabarito: letra "b".

  • Eu errei a questão por que esqueci de adicionar a pizza de cebola que já tinha sido escolhida