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Alguem pode me ajudar a resolver essa questão?
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Centro (0,0,0) e raio da esfera r=3.
Integando a função volume_da_esfera nos planos de z=1 e z=2,
Temos: Integral de (2,1) = (4*pi*r^3)/3. Ou seja, (4*pi*2^3)/3 - (4*pi*1^3)/3 = 20pi/3
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alguém consegue resolver por coordenadas esféricas ?
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Itallo Francisco:
Centro (0,0,0) e raio da esfera r=3.
Integando a função volume_da_esfera nos planos de z=1 e z=2,
Temos: Integral de (2,1) = (4*pi*r^3)/3. Ou seja, (4*pi*2^3)/3 - (4*pi*1^3)/3 = 20pi/3
Itallo, não entendi sua explicação. Minha resposta só da 28pi/3. Você poderia me ajudar?
(4*pi*2^3)/3 - (4*pi*1^3)/3 = (32*pi)/3 - (4*pi)/3 =28pi/3
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Variaveis ( x e raio(R)) , com a seguinte relação: x^2=R^2-y^2,
Volume de um cilindro V=pi*x^2*y, logo com uma espessura infinitesimal V=pi*(x^2)*dy, integrando para achar o volume temos:
V=int [1,2]{pi*(x^2)*dy} , substituindo x^2 por R^2-y^2, temos:
V=int [1,2]{pi*((R^2)-(y^2))*dy =pi*((R^2)(2-1)-(2^3-1^3)/3)=pi*(9-7/3)
V=pi*(27-7)/3 = 20*pi/3
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Estou querendo a resposta por coordenadas esféricas também, alguém se habilita?
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Oi Bruna tudo bem?
Eu tentei bastante resolver com coordenadas esféricas, mas não consegui, isso porque a região de integração não é simétrica em relação à origem e sim em relação ao eixo z. Para isso, utilize coordenadas cilíndricas. Lembre-se que o Jacobiano para coordenadas cilíndricas é rho (rô). Sendo assim basta resolver a integral tripla:
int [1,2] da int [0,2pi] da int [0, sqrt(9-z^2)] de rho drho dphi dz
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Uma calota esférica é a parte de uma esfera cortada por um plano.
Se tal plano passa pelo centro da esfera, logicamente, a altura da calota é igual ao raio da esfera, e a calota esférica será uma hemiesfera (semiesfera).
para encontrar o volume da calota esférica, em função do raio da esfera e da altura h, é: V= 1/3.pi .h^2.(3r-h)
p/ r=3 e h=1
V= 1/3 pi . 1 . (9-1) = 8/3 pi
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p/ r=3 e h= 2
V' = 1/3 . pi . 4. (9-2) = 28/3 pi
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Para achar o que se pede, basta diminuir o volume encontrado para h=2 do encontrado para h=1, pois assim terá a parte entre 1 e 2.
V" = V' - V = 28/3 pi - 8/3 pi = 20/3 pi
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y= Rsen(teta) x= Rcos(teta), substituindo na equação x^2+y^2+z^2 <= 9
temos:
[Rcos(teta)] ^ 2 + [Rsen(teta) ]^2 + z <= 9 onde sabe-se que [sen(teta)]^2 + [cos(teta)]^2 = 1
temos a sequinte equação:
r^2 + z^2 <= 9
Volume = area da base X H , para o caso da questão => Pi. r^2 . dz
então V = Integral de pi.r^2 dz |1 a 2 , dai resolvendo da 20Pi/3
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Essa região tem geometria cilíndrica, não esférica. Depois de perceber isso o resto fica fácil.
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acho que a forma mais limpa de resolver essa questão é por sólido de revolução, de forma que no plano zOy vc tem a função:
z^2+y^2=9
y=sqrt(9-z^2)
Aí integra:
int[1,2] { pi x y^2 } dz = int[1,2] { pi x [sqrt(9-z^2)]^2 } dz = pi x (9z[1,2] - 1/3z^3[1,2]) = 20pi/3