Para quem quiser a resolução inteira é esta aqui:
1º) Para que obter a raiz de um polinômio a igualdade deve ser zero. Então, temos que passar todos os valores para um lado só, ficando assim:
3x² + x² + (m²-1)x - 3x +5 -4 = 0 --> 4x² + (m²-1-3) x +1 = 0 --> 4x² + (m² - 4)x + 1 = 0
2º) Tendo a equação 4x² + (m² - 4)x + 1 = 0, para resolvê-la devemos usar o método da "Soma e Produto" já que pelo meio convencional não seria possível com duas variáveis.
Soma e Produto:
- A soma das raízes deve ser igual ao coeficiente do termo x. Assim temos para o exercício: x(1) + x(2) = m²-4.
- O produto das raízes deve ser igual ao termo independente, e neste caso teremos para o exercício a equação:
x(1) . x(2) = 1
3º) Ainda só com isso não temos a resolução, mas o exercício da mais uma informação que é: as raízes devem ser REAIS E SIMETRICAS. Isso quer dizer que as raízes serão o mesmo número mas com o sinal oposto, por exemplo, 10 e -10 são podem ser raízes reais e simétricas.
Então para o exercício teremos que x(1) e x(2) são o mesmo número mas com sinais opostos, ficando: x(2) = -x(1) ou x(1)= -x(2).
- para a resolução usarei x(2) = -x(1).
4º) Então podemos substituir x(2) da Soma pela informação do tópico 3, que é x(2) = -x(1), ficando:
x(1) + x(2) = m² - 4 --> x(1) - x(1) = m² - 4 --> 0 = m² - 4 --> 4 = m² --> (raiz) 4 = m --> m = + ou - 2
Fazendo a substituição de m pelos valores 2 e -2, encontramos raízes reais e simétricas.
Resposta: O valor de m para que as raízes sejam reais e simétricas deve ser 2,-2.