Primeiro, analisamos o evento, de quantos modos as caixas podem ser colocadas sem restrição, que é obtido pelo PFC:
E(n)=6x5x4x3x2x1=720
E agora vamos fazer o seguinte: calcular as opções de fracasso de Fernanda:
Modos de colocar a caixa A em 1(fixamos A em 1 e calculamos o resto com o PFC)
n(A)=1x5x4x3x2x1=120
Os modos de colocar B em 2:
n(B)=5x1x4x3x2x1=120
Os modos de colocar a caixa em A ou B(Soma de eventos)
n(A)+n(B)=240
Mas espere, quando colocamos A fixo em 1, consideramos 5 possibilidades para 2! Ou seja, B pode estar na caixa 2 enquanto A está em 1, ou vice versa. Precisamos calcular os modos de colocar A e B fixos em 1 e 2:
n(C)=1x1x4x3x2x1=24
Quando somamos A e B, contamos os modos fixados A e B em 1 e 2 duas vezes. Fica mais fácil de visualizar se você fizer um conjunto A e B com a intersecção deles. Esse ponto foi contado duas vezes quando você calculou A inteiro e B inteiro, então devemos tirá-lo uma vez(é o caso do número de elementos de um conjunto A unido a B: )
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AUB)
Subtraindo, ficamos com:
240 - 24 = 216
Que são os modos distintos de falhar. Logo, para a condição ser respeitada, ela tem
720 - 216 = 504 modos de acertar.
Assim, a probabilidade final é: P(E)=504/720=0,7
fonte:http://pir2.forumeiros.com/t114664-questao-da-copeve-2015
Vou tentar explicar de forma simples e detalhada.
6 depósitos (1, 2, 3, 4, 5 e 6) para 6 caixas (A, B, C, D, E e F).
Primeiro, temos que saber o total de possibilidades, independente das condições impostas pela questão.
Isso é fácil. Temos 6 depósitos e 6 caixas para guardar. Então permutação de 6.
6! = 6*5*4*3*2*1= 720
Ok, agora vamos pensar nas limitações. Caixa A não pode ficar no depósito 1 e Caixa B não pode ficar no depósito 2. Então vamos fazer os casos separadamente. Irei fixar cada caixa onde ela não pode estar para saber quantos casos não podem acontecer.
A _ _ _ _ _ = Neste caso, fixei A no primeiro depósito, restando 5 caixas para 5 depósitos. Então vira uma permutação de 5!.
5! = 5*4*3*2*1 = 120
_ B _ _ _ _ = Neste caso, fixei B no segundo depósito, restando 5 caixas para 5 depósitos. Então, novamente, permutação de 5!.
5! = 5*4*3*2*1 = 120
Certo, agora temos que pensar o seguinte. Existe a chance de que as duas restrições acontecerem ao mesmo tempo. Então vou fixar as caixas A e B nos respectivos depósitos onde elas não podem ficar.
A B _ _ _ _ = Neste caso, com as caixas A e B fixas, restam 4 caixas para 4 depósitos. Então temos uma permutação de 4!
4! = 4*3*2*1 = 24
Ok, agora precisamos raciocinar um pouco. Essa hipótese onde as duas restrições não são respeitadas ao mesmo tempo está inclusa nos cálculos onde fixamos A e B isoladamente. Como assim? Se A está fixo no Depósito 1, significa que B está livre para ser posto em qualquer depósito, inclusive no depósito 2, onde ele não pode estar. Então, essas 24 possibilidades de A e B fixos nos depósitos restritos ao mesmo tempo, estão inclusos nos 2 cálculos que fizemos deles isolados (no apenas A fixo no depósito 1 e no apenas B fixo no depósito 2).
Se somarmos as duas posssibilidades, teremos 120 + 120 = 240. Pórem, dentro das 240 possibilidades, as 24 possibilidades onde A e B estão nos depósitos proibidos aos mesmo tempo, foram contabilizadas 2 vezes. Então temos que dimonuir 24 para termos o resultado real.
240 - 24 = 216 possibilidades que não respeitam as restrições.
Agora vem o X da questão. A questão pede qual a probabilidade dela respeitar as restrições, mesmo as desconhecendo. Para sabermos quantas são basta subtrair do total de possibilidades (720) o total de possibilidades que não podem acontecer (216).
720 - 216 = 504 possibilidades respeitam as restrições.
Agora basta dividirmos as possibilidades que respeitam as restrições (504), pelo total de possibilidades sem levar em conta as restrições (720). Então temos:
504/720 = 0,7
GABARITO: B