O modelo de Sollow retrata uma economia em que a produção, representada por uma função com rendimentos constantes de escala, é função do capital e do trabalho (Y=F(K,L)). O produto por trabalhador apresenta a seguinte função: y=F(k,1). (Basta dividir tudo por L).
Sollow conclui que a economia tende a um estado estacionário em que a taxa de crescimento do y(produto por trabalhador) e k (capital por trabalhador) é nula. No estado estacionário, o nível de poupança/investimento da economia é apenas suficiente para cobrir a depreciação (e, caso o modelo apresente, crescimento tecnológico e crescimento populacional). Desta maneira, temos que, no estado estacionário:
como y = f(k)
s = taxa de poupança da economia
d = taxa de depreciação
sy=sf(k) = d.k
Ou seja, como no estado estacionário não há variação de y nem de k, a poupança, que é igual ao investimento, é suficiente apenas para cobrir a depreciação do capital por trabalhador desse mercado.
Os níveis de y e k dependem da taxa de poupança da economia. Se a taxa de poupança se eleva, o produto por trabalhador se eleva até um novo estado estacionário, no qual se estabilizará, pois quando o y e o k crescem, a depreciação também se eleva.
Entretanto, levando em conta todos os estados estacionários disponíveis, existe um estado estacionário, compatível com um nível de poupança, em que o consumo da economia é maximizado. Esse estado maximiza a utilidade da economia, pois de nada adiantar aumentar a taxa de poupança e produto por trabalhador indefinidamente se a população não pode consumir. Esse estado estacionário ideal é compatível com a Regra de Ouro do modelo de crescimento de sollow.
Sem a ajuda gráfica é um pouco difícil visualizar, mas temos que y = c+ i ou c= y - i.
como y = f(k) e, no estado estacionário o investimento apenas cobre a depreciação do capital,
Temos que c = f(k) - d.k.
Agora é só derivar para achar o estado estacionário que maximiza o consumo.
Teremos que no estado estacionário compatível pela Regra de Ouro, a PgmK = d, ou seja, a produtividade marginal do capital será igual à depreciação.
Em um modelo com desenvolvimento tecnológico, a PmgK = d + n + g. A PmgK é igual à taxa de depreciação somada à taxa de crescimento populacional(n) mais a taxa de progresso tecnológico (g). Não vou me aprofundar muito sobre como chegamos nessa conclusão pois demandaria muito tempo.
O enunciado nos diz que:
"o aumento da taxa de poupança pode proporcionar um estado estacionário de maior consumo, caso o produto marginal líquido seja maior que a taxa de crescimento da economia"
O modelo de sollow com progresso tecnológico tem taxa de crescimento de Y dada por (n +g). Portanto, se PmgK - d (produto marginal líquido) for maior do que n +g ( taxa de crescimento da economia) é um sinal de que o consumo ainda pode ser elevado nessa economia.
Apesar de ser muito difícil desenvolver o modelo de Sollow em um comentário, tentei esclarecer a dúvida de alguns que já tem uma base no modelo.