Questão exigente. A carga excêntrica P necessariamente introduz flexão no pilar. Precisamos encontrar o valor da excentricidade para a qual há equilíbrio entre a compressão provocada pela força normal P e a tensão de tração provocada por essa própria excentricidade na extremidade mais distante da seção transversal. Se a carga for aplicada nesse ponto as tensões de tração serão, efetivamente, nulas. Vejamos:
a) A tensão produzida no pilar pela carga centrada P é de:
σ = P / A
σ = P / π.R²
b) O momento de inércia do círculo é dado por:
I = π.R^4 / 4
c) A máxima tensão na flexão é dada por:
σmax = M.c / I
σmax = M.c / (π.R^4 / 4)
Sabemos que o máximo momento possível ocorre quando a distância entre o ponto de aplicação da carga e o centróide da seção transversal é igual a R, ou seja, M = P.R. Dessa forma podemos reescrever a equação:
σmax = 4.P.c / π.R³
A variável c representa a excentricidade que precisamos encontrar.
d) Agora igualamos a máxima tensão de tração às tensões normais de compressão e resolvemos para c:
σmax = σ
4.P.c / π.R³ = P / π.R²
c = R / 4
Temos, portanto, que a máxima excentricidade para a qual inexistem tensões de tração atuando na seção transversal do pilar é de c = R/4. Alternativa letra C.
Acredito que essa seja a melhor maneira de resolver o problema. Caso haja um método mais simples, por favor, me corrijam!
Bons estudos!
Basta saber que o núcleo central de Inercia de um círculo é = D/4
Centroide = (D/4) / 2 = D/8 , que nada mais é que 2R/8 ou seja: R/4
Obs: O núcleo central de inércia é o lugar geométrico da seção transversal da barra (ou pilar), tal que, se nele for aplicada uma carga de compressão P, toda a seção está comprimida.