Prof Vítor Menezes;Seja Z a variável soma (Z=X+YZ=X+Y ).
ZZ assumirá o valor 0 quando tanto XX quanto YY forem ambas iguais a 0.
P(Z=0)=P(X=0∩Y=0)
Como foi dito que X e Y são independentes, então podemos quebrar a probabilidade da intersecção em um produto de probabilidades.
P(Z=0)=P(X=0)×P(Y=0)
Foi dito que P(Y=0)=0,9 . Já para XX , sabemos que a chance de valer 1 é de 90%. Logo, a chance de valer 0 será 10% (eventos complementares).
P(Z=0)=0,1×0,9=0,09
Seja WW a variável binomial de parâmetros n=2n=2 e p=0,3p=0,3 . A chance de WW assumir o valor 0 é dada por:
P(W=k)=Cn,k×pk×(1−p)n−k
P(W=0)=C2,0×0,30×0,72P
P(W=0)=0,49
Notem que a chance de ZZ assumir o valor 0 foi de 0,09. Já a chance de WW assumir o valor 0 foi de 0,49. Ora, se as probabilidades foram diferentes, é porque essas duas variáveis não apresentam a mesma distribuição. Portanto, X+YX+Y não tem distribuição binomial com parâmetros n=2n=2 e p=3p=3 . ITEM ERRADO
Bom, vale ressaltar que uma distribuição Binomial envolvendo 2 ou mais variáveis não é apenas uma distribuição de Bernoulli executada varias vezes. É preciso que essas variáveis sejam independentes e idênticas. Como a questão afirma apenas que são independentes, já dá para saber que está errada. Mas é possível provar com cálculos!
Vamos provar o porquê não é uma distribuição Binomial...
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Vale relembrar uma propriedade da média:
E(XY) = E(X) . E(Y) + Cov(X,Y)
Como estamos considerando que são independentes, Cox(X,Y) é 0. Logo:
E(XY) = E(X) . E(Y)
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Para serem idênticas, quando X assumir valor 0 e Y também assumir valor 0, a média dessas variáveis independentes tem que ser igual a Probabilidade Binomial de não obter nenhum sucesso (isto é, assumir valor 0).
P(X=0) = 0,1
P(Y=0) = 0,9
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Como foi informado que X e Y segue uma distribuição de bernoulli, a média dessas variáveis é a própria probabilidade de sucesso. Por isso, vamos utilizar a propriedade da média.
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E(XY) = E(X=0) . E(Y=0)
E(XY) = P(X=0) . P(Y=0)
E(XY) = 0,1 x 0,9 = 0,09
Agora, vamos calcular a Probabilidade Binomial de dar 0 sucessos, considerando as informações de foram dadas na questão e por fim comparar.
Bom, a questão pede 2 tentativas e diz que a probabilidade de sucesso será 0,3.
P(0) = (C[2,0]) x (0,3^0) x (0,7^2)
P(0) = 1 x 1 x 0,49 = 0,49
Diante disso, percebe-se que deram valores diferentes, logo é possível afirmar que não segue uma distribuição binomial.
Gabarito ERRADO.