SóProvas


ID
2096293
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
TCE-PA
Ano
2016
Provas
Disciplina
Estatística
Assuntos

Se as variáveis aleatórias X e Y seguem distribuições de Bernoulli, tais que P[X = 1] = P[Y = 0] = 0,9, então

X + Y segue uma distribuição binomial com parâmetros n = 2 e p = 0,3, se X e Y forem variáveis aleatórias independentes.

Alternativas
Comentários
  • x + y pode assumir os valores 

    0, 1 e 2

    Distribuição Multinomial

    x = 0 e y = 0, x + y = 0

    x = 0 e y = 1, x + y + 1

    x = 1 e y = 0, x + y = 1

    x = 1 e y = 1, x + y = 2

  • Prof Vítor Menezes;Seja Z a variável soma (Z=X+YZ=X+Y ).

     

    ZZ assumirá o valor 0 quando tanto XX quanto YY forem ambas iguais a 0.

     

    P(Z=0)=P(X=0∩Y=0)

     

    Como foi dito que X e Y são independentes, então podemos quebrar a probabilidade da intersecção em um produto de probabilidades.

     

    P(Z=0)=P(X=0)×P(Y=0)

     

    Foi dito que P(Y=0)=0,9 . Já para XX , sabemos que a chance de valer 1 é de 90%. Logo, a chance de valer 0 será 10% (eventos complementares).

     

    P(Z=0)=0,1×0,9=0,09

     

    Seja WW a variável binomial de parâmetros n=2n=2 e p=0,3p=0,3 . A chance de WW assumir o valor 0 é dada por:

     

    P(W=k)=Cn,k×pk×(1−p)nk

     

    P(W=0)=C2,0×0,30×0,72P

     

    P(W=0)=0,49

     

    Notem que a chance de ZZ assumir o valor 0 foi de 0,09. Já a chance de WW assumir o valor 0 foi de 0,49. Ora, se as probabilidades foram diferentes, é porque essas duas variáveis não apresentam a mesma distribuição. Portanto, X+YX+Y não tem distribuição binomial com parâmetros n=2n=2 e p=3p=3 . ITEM ERRADO

  • Bom, vale ressaltar que uma distribuição Binomial envolvendo 2 ou mais variáveis não é apenas uma distribuição de Bernoulli executada varias vezes. É preciso que essas variáveis sejam independentes e idênticas. Como a questão afirma apenas que são independentes, já dá para saber que está errada. Mas é possível provar com cálculos!

    Vamos provar o porquê não é uma distribuição Binomial...

    =====

    Vale relembrar uma propriedade da média:

    E(XY) = E(X) . E(Y) + Cov(X,Y)

    Como estamos considerando que são independentes, Cox(X,Y) é 0. Logo:

    E(XY) = E(X) . E(Y)

    =====

    Para serem idênticas, quando X assumir valor 0 e Y também assumir valor 0, a média dessas variáveis independentes tem que ser igual a Probabilidade Binomial de não obter nenhum sucesso (isto é, assumir valor 0).

    P(X=0) = 0,1

    P(Y=0) = 0,9

    ======

    Como foi informado que X e Y segue uma distribuição de bernoulli, a média dessas variáveis é a própria probabilidade de sucesso. Por isso, vamos utilizar a propriedade da média.

    ======

    E(XY) = E(X=0) . E(Y=0)

    E(XY) = P(X=0) . P(Y=0)

    E(XY) = 0,1 x 0,9 = 0,09

    Agora, vamos calcular a Probabilidade Binomial de dar 0 sucessos, considerando as informações de foram dadas na questão e por fim comparar.

    Bom, a questão pede 2 tentativas e diz que a probabilidade de sucesso será 0,3.

    P(0) = (C[2,0]) x (0,3^0) x (0,7^2)

    P(0) = 1 x 1 x 0,49 = 0,49

    Diante disso, percebe-se que deram valores diferentes, logo é possível afirmar que não segue uma distribuição binomial.

    Gabarito ERRADO.

  • A distribuição Binomial é uma soma de n variáveis independentes de Bernoulli que possuem a mesma probabilidade de sucesso.

    Dessa forma, não basta somar n variáveis independentes de Bernoulli, é necessário que essas variáveis sejam idênticas.