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Certo
Eu errei, mas acho que a solução é a seguinte: distribuindo temos Z^2 - Z; passando o operador esperança fica E(Z^2) - E(Z), sendo que E(Z) é 0, portanto pode ser reescrito como E(Z^2) - E(Z)^2, que é a variância, que é 1 no caso da normal padrão.
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Gabarito CERTO
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Em uma distribuição normal padrão:
Média = 0
Variância = 1
Desvio Padrão = 1
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O valor esperado da variável aleatória Z(Z – 1)
Z(Z – 1) faz a distributiva
Z² - Z
Valor Esperado (Z²) - Valor esperado (Z):
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Valor esperado (Z) = Média = 0
Valor Esperado (Z²) = Variância = 1
Logo o valor esperado da variável aleatória Z(Z – 1):
Z² - Z
1² - 0 = 1
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Máxima vênia aos colegas, mas não consigo visualizar E(z²) como variÂncia, salvo se E(z²) - E(z)², o que não ocorreu.
1. Z ( Z - 1) = z² - z
2. Aplicar estimador, teremos E(z²) - E(z)
3. z² segue uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade, em que E(z²) = n e Var (z²) = 2n, ou seja E(z²) = 1
4. z segue uma distribuição normal com E(z) = 0
5. Portanto, E(z²) - E(z) = 1
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Gabarito: Certo.
Sabemos que a média será nula, pois se trata de uma distribuição normal padrão.
Z² - Z = 0
Z (Z-1) = 0
Z = 1.
Bons estudos!
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Basta conhecer as propriedades do valor esperado e a fórmula para variância:
E[(Z(Z-1)] = E(Z^2-Z) = E(Z^2) - E(Z); propriedade do valor esperado.
VAR(Z) = E(Z^2)-[E(Z)]^2
E(Z^2) = VAR(Z)+[E(Z)]^2
Sbemos então que E(Z) = 0 e que VAR(Z) = 1, pois a distribuição é normal padrão.
Logo, substituindo na fórmula imediatamente anterior:
E(Z^2) = 1+0^2 = 1
E[(Z(Z-1)] = 1-0 = 1
ATENÇÃO!!!
Para esse caso, Var(Z) = E(Z^2), mas isso não é sempre verdade, deve-se olhar para fórmula da variância assim como exemplifiquei. A explicação dos meus colegas está de acordo com o gabarito, mas pode prejudicar a aprendizagem de iniciantes nessa matéria.