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GABARITO: C
simples...
As = 0,85 * fck / 1,4 * bw * 0,8x * 1,15 / fyk
fck = 20MPa (fornecido);
bw = 0,12m (fornecido);
fyk = 500MPa (fornecido);
x = d / 0,4 - M * 1,15 / 0,4 / As / fyk
onde M = 102kNm (fornecido);
d = 0,48m (H - d', onde H = 55cm [fornecido] e d' = 7cm [fornecido]);
As = o que queremos. Assim,
As = 0,85 * fck / 1,4 * bw * 0,8 * 1,15 / fyk * (d / 0,4 - M * 1,15 / 0,4 / As / fyk)
sendo k = 0,85 * fck / 1,4 * bw * 0,8 * 1,15 / fyk → As = k * d / 0,4 - k * M * 1,15 / 0,4 / As / fyk
sobrando a singela equação de segundo grau A.As² + b.As + c = 0 abaixo:
As² -k*d/0,4*As + k*M*1,15/0,4/fyk
onde A = 1;
b = -k*d/0,4
c = k*M*1,15/0,4/fyk
delta = k²*d²*100/16 - k*M*1,15*10/fyk = k(100.kd²/16 - 11,5.M/fyk)
Assim, As = ²√k(6,25.kd² - 11,5.M/fyk) / 2
sendo k = 0,0203,
As = ²√0,000116 / 2 = 0,000539 = 5,39cm², com os arredondamentos que procedi.
[levei quase 1h e usei calculadora]
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Equações que você precisa:
I - Rcd = Rsd
II. Fórmula gigante do x (facilita): x = 1,25 d ( 1 - ( raiz( 1 - (Md / (0,425*b*d^2*fcd)))))
Calculando I: 1,165 x = 434,78 As
Calculando II: x = 0,224m
Substituindo II em I: As = 6x10^(-4) m^2 = 6cm^2
Famosa questão para pular em uma prova dessas.
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Considerando o dimensionamento para o limite entre os domínios 3 e 4 (maior momento resistente da seção, com maior aproveitamento dos materiais), tem-se a seguinte relação x/d:
x/d = 0,6283 (tem como demonstrar essa relação através das deformações do aço e concreto no limite dos domínios 3 e 4, mas é preferível decorar esse valor para uma questão de concurso como essa, kkkkkk)
Com isso:
x = 0,6283*d = 0,6283*(h-d') = 0,6283*(0,55-0,07)=0,30m (aproximadamente)
Md= Fs*z = (fyk/1,15) * As * (d-0,4x)
As=1,15*Md/{fyk * (d-0,4x)} = 1,15*102/{500.000 * (0,48-0,4*0,30}
As= 6,51 cm² (tudo na calculadora, imagina na prova...kkkk)
Dessa forma, não se utiliza o fck, porém tem que decorar a relação x/d para o momento resistente máximo da seção. Assim, não precisa resolver equação do 2º grau.
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h=55 cm
d=55 - 7=48 cm
Md=10200 KN.cm
fyk=50 KN/cm²
σsd=fyk/1,15=50/1,15=43,48 KN/cm²
X3lim = 0,63.d=0,63.48=30,24 cm
As= Md / (σsd.(d - 0,4.x)) = 10200 / (43,48.(48 - 0,4.30,24)) = 6,53 cm²
GABARITO - C
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utilizei a calculadora e considerei x/d = 0,45 (critério para aceitação de ductilidade da vida com concreto até C50 apresentado na nbr 6118/14)
Basta fazer:
M = 102knm (Já é o de cálculo, não precisa majorar) = As * Fyd * (d-0,4x)
d = 55-7=48cm = 0,48m
x = d*,45=48*0,45= 21,6cm = 0,216m
Fyd = 500*1000/1,15= 434.782,60kn/m²
Basta substituir e encontrar As=5,96cm²=~6,00cm²
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Boa, Rodrigo Trindade.....meu comentário anterior estava embasado na NBR 6118:2003 ( é dureza a pessoa não se atualizar, kkkkkkk)....
Na norma vigente (NBR 6118:2014), os calculistas ganharam uma segurança extra, já que não chegam mais na fronteira entre os domínios 3/4 (x/d =0,6283).
Agora, adota-se x/d=0,45 para concretos com fck até 50MPa e x/d=0,35 para concretos de fck entre 50 MPa e 90Mpa, como condição para proporcionar o adequado comportamento dúctil em vigas e lajes, no ELU.
Sendo assim, seu cálculo está correto. Valeu!
NÃO EXISTE DESGASTE, ENQUANTO HOUVER MOTIVAÇÃO.
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Alguém poderia me dizer o que difere as fórmulas de As?
Existem tantas fórmulas, e eu não sei qual a diferença entre elas.....
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Fórmulas do passo a passo de viga que encontrei em meu caderno:
Pré-dimensionamento:
d min = 2 * raiz ( Md / ( bw * (Fck /1,4 ) ) )
As = Md / ( 0,82 * d min * ( Fyk / 1,15 ) )
Substituindo os valores, temos:
d min = 2 * raiz ( 102 / ( 0,12 * ( 20000 / 1,4 ) ) ) = 0,4879 m
As = 102 / ( 0,82 * 0,4879 * ( 50 / 1,15 ) ) = 5,86 cm² ≅ 6 cm²
Gabarito: Letra C
PS.: Nunca pensei que usaria isso em provas de concursos.
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Levei 4 min pra fazer e não usei calculadora...
Ms = (As . Fyd). Z
10200 kN.m = (As . (50 kN/cm²)/1,15) . 41cm
As = 5,7 cm²
PS: As questões relativas à dimensionamento em concursos normalmente não entram em detalhes sobre dimensionamento complexos, mas abordam situações simplificadas...O braço de alavanca Z (distância do centro da região comprimida e a o centro de gravidade da armadura de flexão) pode ser estimado, considerei 41cm (55cm - 7 cm - 7cm)