Questão 2705500

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: MPU
• Ano: 2013
• Provas: CESPE - 2013 - MPU - Analista - Estatística
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Funções de Probabilidade p(x) e Densidade f(x)

Um estudo mostrou que a distribuição do tempo de reação (em segundos) dos operários que trabalham em minas de carvão frente a situações de perigo segue uma distribuição W cuja função de densidade de probabilidade é dada por ƒ(w) = 2^–w ln 2, se w ≥ 0, e ƒ(w) = 0, se w < 0. Com base nessas informações, julgue o item a seguir.

A mediana e o terceiro quartil da distribuição W são, respectivamente, iguais a 1 s e 2 s.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: C

Comentários

• Para mediana: integre a função igualando a 0,5

  Para 3º quartil: integre a função igualhando a 0,75

• • X ~ Exponencial (λ)

  f(x) = λ exp(-λx)

  • Agora, vamos mostrar que W ~ Exp (λ = ln(2))

  f(w) = ln(2)*2^(-w)

  f(w) = ln(2)*exp (2^(-w))

  f(w) = ln(2)*exp(-w * ln(2))

  λ = ln(2)

  f(w) = λ*exp(-w*λ)

  f(w) = λ*exp(-λ*w)

  A densidade de W é igual a densidade da exponencial, então W ~ Exponencial (λ = ln(2)).

  • f(w) = ln(2)*2^(-w) = λ*exp(-λ*w), em que λ = ln(2)
  • Vamos encontrar a função distribuição acumulada de W

  F(w) = integral (λ)* exp(-λ*w) dw, no intervalo de 0 a w

  = - exp(-λ*w), no intervalo de 0 a w

  = - exp (-λ* w) + 1

  = 1 - exp (-λ* w)

  Como o Pablo Dias falou acima,

  • mediana = F(w) = 0,5

  1 - exp (-λ* w) = 0,5

  1-0,5 = exp (-λ* w)

  0,5 = exp (-λ* w)

  1/2 = exp (-λ* w)

  ln(1/2) = (exp (-λ* w))

  ln(1) - ln(2) = -λ* w

  0 - ln(2) = -λ* w

  -λ = = -λ* w

  w = 1 = mediana

  • 3 quartil = F(w) = 0,75

  1 - exp (-λ* w) = 0,75

  1-0,75 = exp (-λ* w)

  0,25 = exp (-λ* w)

  1/4 = exp (-λ* w)

  ln(1/4) = (exp (-λ* w))

  ln(1) - ln(4) = -λ* w

  - ln(4) = -λ* w

  - ln(2*2) = -λ* w

  - [ln(2)+ln(2)] = -λ* w

  - 2*ln(2) = -λ* w

  - 2*λ = -λ* w

  w = 2 = 3 quartil