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Começando por 4, vamos ver quantas possibilidades temos:
4 _ _ _ O número 9 deve aparecer em alguma posição.
Vamos supor que apareça após o 4. Como são 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) e já foram usados 2, temos 8 possibilidades para o penúltimo algarismo e 7 para o último. Então: 1 x 1 x 8 x 7 = 56
Mas o 9 pode estar na terceira ou quarta posição também:
Então: 1 x 8 x 1 x 7 = 56 (com 9 na terceira posição) 1 x 8 x 7 x 1 = 56 (com 9 na última posição)
Logo, são 56 x 3 = 168 possibilidades.
A senha começando por 5, temos mais 168 possibilidades. Pois é a mesma coisa: O número 9 que aparece em alguma posição menos a primeira que já é o 5 pode está na segunda, terceira ou quarta posição dessa senha por isso calcula-se todas essas possibilidades e pela regra do OU souma as 3 possibilidades (56 + 56 + 56 = 56x3)
Portanto, no total (começando por 4 ou por 5), existem 2 x 168 = 336
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Tem um jeito bem mais simples: procurar o total de possibilidades e depois subtrair o total de possibilidades que o 9 não aparece nenhuma vez.
1º calculo o total de possibilidades incluindo o 9:
2 * 9 * 8 * 7 = 1008
2º calculo o total de possibilidades excluindo o 9:
2 * 8 * 7 * 6 = 672
1008 - 672 = 336
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Temos 10 algarismos (de 0 a 9). Duas possibilidades no início (ou 4 ou 5); o 9 pode vir em qualquer parte da senha, ou seja, temos um arranjo (pois a ordem importa); vai sobrar 8 algarismos e poderemos usá-los livremente (sem nenhuma restrição), porém sem repeti-los.
2 x A (3,1) x 8 x 7 -----> 2 x 3 x 8 x 7 ----> 336 (GAB)
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Primeira posição: 4 ou 5 --> 2 possibilidades
O 9 estará em uma das três posições restantes, então temos 3 possibilidades para o 9.
Nas duas posições restantes, temos 8 números para escolher para uma delas e 7 para a outra, totalizando --> 56 possibilidades
Multiplicando: 2*3*56 = 336
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GABARITO – D
Resolução:
- Iniciando-se pelo algarismo 4:
4 9 _ _ ≡ 1 x 1 x 8 x 7
“OU”
4 _ 9_ ≡ 1 x 8 x 1 x 7
“OU”
4 _ _ 9 ≡ 1 x 8 x 7 x 1
56 x 3 = 168
⁞
- Iniciando-se pelo algarismo 5, o resultado será idêntico. Assim, basta calcular o seu dobro:
168 x 2 = 336
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Cuidado com o comentário de "O Fino": a ordem IMPORTA SIM. Quanto usamos o princípio multiplicativo distribuindo 8 elementos numa vaga e 7 elementos em outra, estamos calculando um arranjo simples sem repetição, que é 8!/(8-2)! = 8*7.
Ao manejar a posição do 9, indiretamente a questão sugere que a ordem importa. Uma senha 4 1 9 2 é diferente de 4 2 9 1. Temos um arranjo, e não uma combinação.
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( 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) total 10 algarismos
4 _, _, 9 = 8 possibilidades x 7 possibilidades = 56 x 3 = 168 possibilidades
4 _, 9, _
4, 9, _
Agora que incia com o prefixo 5 também têm 56 x 3= 168 possibilidades
totalizando 168 x 2= 336 possibilidades
Quando penso em desistir lembro, que terei que aceitar o destino que o Sistema me impõe !!
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Sabendo que 4 e 5, necessariamente, ocupam a primeira casa, teremos 2 opções para a mesma.
Suponhámos que 9 ocupe a segunda casa.
Sobram sete algarismos, de 0 a 10, mais o algarismo 4 OU o algarismo 5. Restando um total de 8 algarismos.
Dessa forma teremos:
_ _ _ _ =
2 1 8 7 = 112 é o total de senhas com o 9 ocupando a segunda casa. No entanto, o 9 pode ocupar qualquer casa que não seja a primeira, pois é onde estará o algarismo 4 ou 5. Dessa forma multiplicaremos a quantidade de arranjos por 3, que é a quantidade de casas que o número 9 pode ocupar.
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O sistema tem senha de:
Quantas possibilidades temos se a senha começar com 4:
_4_ _9_ ___ ___
1 . 1 . 8 . 7 --> temos 10 números possíveis (0 a 9), considerando o 4 e o 9, restam 8 números e depois 7
= 56
_4_ ___ _9_ ___ --> trocando o 9 de lugar, continuamos com o mesmo raciocínio
1 . 8 . 1 . 7
= 56
_4_ ___ ___ _9_ --> troca o 9 de lugar um ultima vez
1 . 8 . 7 . 1
= 56
Assim, a senha começando com o 4 temos 56 + 56 + 56 = 168
Aplicando o mesmo raciocínio pra senha começando com 5, o resultado será o mesmo = 168
De acordo com os princípios de contagem, o OU tem função de adição.
Logo, a senha começando com 4 OU 5 = 168 + 168 = 336
Resposta: alternativa D
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FORMA MAIS SIMPLES
-----/----/-----/----- (4 dígitos)
Bora fazer o cálculo para 1 possibilidade apenas, começando com o 4,
mas poderia ser o 5
4/----/----/-----, blza?
agora o 9 deve estar em uma das posições restantes, na 2º, 3º ou 4º posições
vamos continuar com nossa 1ª possibilidade (4 no início), estando agora o 9 em segunda posição
4/9/----/-----
perceba que já foram usando 2 números até agora, ficando portanto 8 algarismos
para serem utilizados na 3ª posição e 7 na 4ª
4/9/8(8 algarismos)/7(sobraram 7)
1(a primeira possibilidade com o algarismo 4)/1(a primeira com o algarismo 9)/8 possibilidades restantes/ 7
possibilidade restantes
1ª possibilidade com 4 no início e 9 como 2º algarismo: 1x1x8x7 = 56
como são duas possibilidade no início, 4 ou 5 e são 3 possibilidades com o algarimo
9 no restante, 2º, 3º ou 4º posição = 3 possibilidades do 9 aparecer numa delas..
56 x 2(4 ou 5 no começo) x 3 (com o 9 na 2ª, 3ª ou 4ª posição)
56x2x3 = 336
Torço para que tenham entendido, adiante!
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Resolução em vídeo.
https://youtu.be/474XSMuBrpU
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2 1 8 7 = 112
porém há permutação nos 3 últimos slots
112 x 3 = 336