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Total = 10 livros:
Matemática = 4 livros
Física = 6 livros
Escolhendo-se 2 livros aleatoriamente, qual a probabilidade de PELO MENOS UM ser de matemática?
Lembrando que as letras "E" e "OU" indicam multiplicação e soma, respectivamente.
Há 3 maneiras de se "sortear" o livro de matemática de modo que pelo menos um seja de matemática:
Matemática e física OU matemática e matemática OU física e matemática (nessa ordem)
Prob Matemática * Prob Física + Prob Matemática * Prob Matemática + Prob Física * Prob Matemática
Probabilidade de se escolher 1 livro de matemática é 4 em 10
Probabilidade de se escolher 1 livro de física é 6 em 10, logo
4/10 * 6/9 + 4/10 * 4/9 + 6/10*4/9
24/90 + 12/90 + 24/90 = (divisores iguais, mantenha-o [90] e some o que está em cima [dividendo])
= 60/90 simplificando
= 6/9 simplificando
= 2/3
GABARITO CERTO
O valor do "9" na segunda operação da probabilidade é devido ao fato de que 1 livro já foi escolhido (dos 10), como não há reposição considera-se que um foi retirado.
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Apenas uma correção na equação do Lucas PRF
4/10 * 6/9 + 4/10 * 3/9 + 6/10*4/9
Na situação em que o primeiro e o segundo livro são de matemática, após tirar o primeiro a probabilidade de tirar o segundo de matemática é de 3/9
Obs: Mesmo com esse erro ele fez o resto da conta corretamente.
Gab: C
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Podemos fazer assim também (mais simples):
Se a questão quer a probabilidade de pelo menos um deles ser de matemática (SUCESSO), ou seja, 1 ser de matemática ou 2 serem de matemática, o FRACASSO seria nenhum (0) ser de matemática.
Fracasso = nenhum de matemática (ou 2 de física)
6/10 x 5/9 = 30/90
(dividido por 9 pq é sem reposição)
Logo, a probabilidade de pelo menos um ser de matemática é o que falta:
90/90 - 30/90 = 60/90
ou 2/3
Gabarito: Certo.
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Certo
4/6 ( 4 de matemática e ¨6 de física)
Simplifica 4/6 e então temos 2/3.
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Fiz da seguinte maneira, ele quer a situação em que pegamos ao menos um livro de matemática, se calcularmos a possibilidade de SÓ pegar livros de física é mais fácil então, tínhamos seis em dez, tíramos um livro de física ficamos com 5 em 9, pronto
6/10 x 5/9 = 30/90 = 1/3
Se 1/3 é a possibilidade de só pegar livros de física, 2/3 é a possibilidade de pegar 1 ou 2 livros de matemática
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Macete rápido
TUDO menos o que NÃO PODE
-TUDO 10/10 * 9/9=01
-NÃO PODE DOIS DE FÍSICA, LOGO,6/10*5/9= 1/3
1-1/3= 2/3
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Bons comentários nesta questão.
Eu particularmente calculei usando probabilidade de combinações, pois ao escolher ao acaso 2 livros, a ordem desses dois livros não importa para nada. Se o primeiro é de física ou de matemática, tanto faz.
P=[C(4,2)+C(4,1)*C(6,1)]/C(10,2)
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Gabarito: Certo
Resolvi usando combinação. Casos favoraveis/Total de casos
Casos favoraveis, como ele quer com pelo menos 1 livro de matématica é só pegar o resto da combinação caso não desse nenhum livro de matemática. C(6,2) = 15
Total de maneiras de pegar 2 livros dos 10. C(10,2) = 45 (Total de casos)
45-15 / 45 = 30/45 = 2/3
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resultados possíveis:
1) 1 Matematica & 1 Física
2) 1 Física & 1 Matematica
3) 1 Matematica & 1 Matematica
4) 1 Física & 1 Física (ñ atende requisito da questão)
probabilidades:
1) 4/10 * 6/9 = 24/90
2) 6/10 * 4/9 = 24/90
3) 4/10 * 3/9 = 12/90
4) ----
somando as probabilidades :
24/90 + 24/90 + 12/90 = 60/90 = 2/3
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chance 1 = física + matemática
chance 2 = física + física
chance 3 = matemática = matemática
nas chances 1 e 2 teria pelo menos um de física como pede a questão, já na chance 3 não. Logo dentre as três chances apenas 2 são possíveis, portando 2/3
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Gente, façam muitas questões, antigamente demorava para entender algumas questões que hoje em dia fica cada vez mais fácil.
É só calcular a probabilidade de não ser nenhum livro de matemática, pois a probabilidade de pelo menos 1 ser de matemática vai ser o restante.
A probabilidade de não ser nenhum de matemática é 6/10 na primeira tentativa e 5/9 na segunda tentativa.
O e é que faz a diferença, e = multiplicação.
6/10 * 5/9 = 30/90 = simplificando por 30 = 1/3.
agora sabendo que a probabilidade de nenhum ser de matemática é 1/3, fica evidente que 2/3 é a probabilidade de pelo menos 1 ser de matemática.
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De forma mais simples, a questão pede pelo menos um sendo de matemática com isso basta achar a probabilidade de NENHUM ser de matemática e diminuir de 100% (ou 1 ). Vamos aos cálculos:
PROBABILIDADE DE NENHUM SER DE MATEMÁTICA (TODOS DOIS SEREM DE FÍSICA):
6/10 x 5/9 = 1/3.
Diminuindo de 1 ou 3/3:
3/3 - 1/3 = 2/3.
CERTO
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As possibilidades são:
M M
M F
F M
F F
A probabilidade de ser F F é:
6/10 * 5/9 = 30/90 = 1/3
Se F F = 1/3 então o restante é = 2/3
Gabarito CORRETO
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P( m e m) = 2|15
P( me f ou f e m) = 8|15
logo, pelo menos 1 vc soma
2|15 + 8|15 = 10|15 = 2|3
CERTO
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fiz da seguinte forma:
2 em 6 é a chance de tirar um livro de física = 33,3% ou 1/3 (ou seja, nenhum de matemática).
logo, os demais 66,6%, contém, ao menos 1 de matemática, ou seja, 2/3.
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Gabarito: CERTO
Resolvi usando combinação.
Primeiro resolve o total de combinações: C10,2= 45
Segundo resolve só matemática: C4,2=6
Terceiro resolve só física: C6,2=15
Em seguida, resolve-se a probabilidade de "pelo menos 1 ser de matemática".
-> Antes é necessário subtrair o TOTAL de combinações pelo que NÃO se quer (NÃO se quer apenas livros de física) -> 45-15=30
-> Resolvido isso, podemos partir para a probabilidade -> 30/45 (o que eu quero dividido pelo total de possibilidades)
Resolvendo através de simplificação: 30/45=2/3
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Podemos fazer por combinação e probabilidade
Total de combinação possíveis de dois livros C10,2= 45
Combinação de apenas física C6,2=15
Possibilidades de pelo menos um de matemática : Combinação Total - Combinação só de física
C10,2 - C6,2= 45-15 = 30
Probabilidade de pelo menos um de matemática= O que quero / O total
30/45 => simplificando => 2/3
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Alguém poderia explicar por que a ordem interessa, nesse caso?
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M= matemática F= física
Resolução 1: a chance de não sair matemática
FF = 6/10*5/9 = 1/3
Portanto sair pelo menos 1 matemática é 2/3
Resolução 2: a chance de sair pelo menos 1 matemática
MM= 4/10*3/9= 2/15 (observe que diminuiu 1 de matemática e 1 no total na segunda escolha)
MF= 4/10*6/9= 4/15 ( observe que continuou com 6 livros de física, mas apenas 9 no total na segunda escolha)
FM= 4/15
Total = 2/15+4/15+4/15= 2/3
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M + M
M + M
M + F
F + M
F + F
F + F
2/6 = 1/3 de sair só livro de Física
4/6 = 2/3 de ter pelo menos 1 de matemática
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TOTAL DE COMBINAÇÕES
C10,2 = 45 livros
COMBINAÇÃO PRA TIRAR DOIS DE MATEMÀTICA
C4,2 = 6
COMBINAÇÂO PRA TIRAR UM DE MATEMATICA E UM DE FÌSICA
C4,1 x C6,1 = 24
COMBINAÇÃO PRA TIRAR DOIS DE MATEMÀTICA + COMBINAÇÂO PRA TIRAR UM DE MATEMATICA E UM DE FÌSICA / TOTAL DE COMBINAÇÕES
30/45 = 2/3
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Você tem 4 Livros de Matemática e 6 física.
Vamos optar por saber quantas escolhas temos sem os livros de Matemática. Somente física.
de 10 livros, temos 6 de Física e temos que ter dois livros de fisica para n ter de matemática.
Então será 10/6 (de 10 posso escolher 6 de fisica), vezes 9/5 ( os livros de fisica q restaram e quantidade de lugar que restaram:
6/10*5/9 = 1/3 ( já simplificado)
Se de 10 livros, 1/3 é somente de fisica , então : 10/10 (total de livros e possib) - 1/3 ( total de possib. só de fisica =
10/10-1/3 = 2/3
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Façam o inverso.
O que não pode acontecer é ter 2 livros de física. Ou seja: 6/10 x 5/9 = 30/90 que simplificando fica 1/3.
1/3 é o que eu não quero, logo o que eu quero é o inverso disso: 2/3.
Gab. Certo.
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Prob. de um evento complementar
P(A) =1-P(B)
probabilidade de pelo menos um deles ser de matemática
Nesse caso faz o contrario, probabilidade de todos serem de física.
6/10 x 5/9 = 1/3
p(a) = 1 - 1/3 = 2/3
vídeo aula sobre o assunto:
https://youtu.be/Fk8IfLvx7g0
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Vou simplificar.
"PELO MENOS 1" = 1 - Nenhum
Nenhuma chance de sair 1 livro de matemática:
F e F
6/10 * 5/10 (Porque na segunda escolha restam apenas 9 livros e 5 livros de física, você já tirou um )
Isso aí é igual a 1/3
1 - 1/3 = 2/3
CHUPA CESPE!
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GALERA , PEDIU PELO MENOS UM, CALCULA O QUE ELE NÃO QUER. AO FINAL DIMINUI, MAIS SIMPLES.
UM DE FÍSICA 6/10 E(X) OUTRO DE FÍSICA 5/9 (SEM REPOSIÇÃO) = 6/10 X 5/9= 1/3 LOGO O RESULTO SERÁ 3/3 - 1/3= 2/3
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algum matematico já tem outra formula além das connhecidas...?
hehehe
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Fiz por combinação.
De quantas maneiras podemos agrupar esses livros em pares?
C10,2 = 45.
Quais são os resultados que não quero? = que os 2 livros sejam de física... portanto:
C6,2 = 15.
Quais são os resultados que eu quero? aqueles que sobraram em relação ao cálculo anterior... portanto:
45 -15 = 30.
Logo, a probabilidade é de:
30/45 = 2/3
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4 matemática e 6 física, logo n=10 {4+6} e p=2 {dois livros a serem escolhidos aleatoriamente}.
O enunciado diz pelo menos 1 de matemática, logo podemos ter 1 ou 2. {Na análise combinatória o ou quer dizer soma}.
1º Possibilidade é apenas 1 de matemática e o outro física:
C4,1 x C6,1 = 4x6 = 24
2ºPossibilidade são os dois livros de matemática:
C4,2 = 4x3/2x1 = 12/6 = 6
Como eu disse, o ou é uma soma, soma-se os resultados: 24+6 = 30. {combinações dos livros de matemática}
Probabilidade= Quero / Espaço amostral
30 / C10,2 {combinação de todos os livros, que é o espaço amostral}
30/(10x9)/2 = 30/45 {simplifique por 15}
= 2/3
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A ordem não importa logo pode ser qualquer uma
M F F M F M F F M F= TOTAL DE LIVROS 10
Temos 3 situações para calcular
são dois livros a escoler então pode ser MF OU FM OU MM
MF 4M/10total * 6F/9total -1 = 24/90
FM 6F/10total * 4M/9total -1 = 24/90
MM 4M/10total * 3M/9total -1 = 12/90
AI SOMAMOS ( 24+24+12) = 60/90
SIMPLIFICANDO = 2/3
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Um jeito mais simples de fazer é achando a probabilidade de sair MATEMÁTICA e depois subtrair as frações.
Chance de sair TUDO matemática é na PRIMEIRA TENTATIVA 6/10 x SEGUNDA TENTATIVA 5/9 = 30/90 (trinta sobre noventa)
SIMPLIFICANDO 1/3
Aí vc achou a probabilidade de sair TUDO matemática. Então, qual é a probabilidade de sair pelo menos um de FÍSICA? O resto que falta 2/3
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Poderá ser feita a combinação total (10 livros p escolher 2) - combinação que não quero (2 livros de física):
C10,2 - C6,2 =
45 - 15 = 30
Então, diante das 45 combinações possíveis, serão 30 COMBINAÇÕES com pelo menos um livro de matemática.
Representando em fração, fica:
Parte (30) de um todo (45) = 30/45 = 2/3 (equivalente).
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gabarito: certo
4 matemática 40 :20 2
6 física 60 : 20 3
resposta 2/3
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Pelo menos um = 1 - não ser
1 - 6/10.5/9 ( 6 livros de física na primeira tentativa e 5 livros de física na segunda tentativa)
1-30/90
90-30/90
60/90
= 2/3
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dica: influência da Lógica Proposicional estudada em raciocínio lógico no cálculo de probabilidades.
Sempre que a questão perguntar: "a probabilidade de pelo menos um..." "...de todos" ou "...de nenhum" procure calcular probabilidade de eventos complementares (a negação lógica de cada um).
P(pelo menos um) = 1 - P(nenhum)
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Primeiramente, podemos analisar todas as situações possíveis de ocorrência ao retirarmos 2 livros do total de 10.
Considere que, M: Matemática e F: Física
Vejamos todas:
1ª Situação: (M, M)
2ª Situação: (M, F)
3ª Situação: (F, M)
4ª Situação: (F, F).
Não consideraremos essa última. Pois não está incluso o livro de matemática já que a questão deseja pelo menos um dos 2 livros seja de matemática. Então descartamos a 4ª Situação. Sendo assim analisaremos apenas as situações 1, 2 e 3.
*A questão fala da retirada de 2 livros. Porém não deixa claro que se retira um livro e depois o outro ou se retira os dois ao mesmo tempo. Mesmo assim, não implicaria no desenvolvimento.
Perceba que na 1ª Situação, temos na primeira retirada de um livro M a probabilidade de 4/10 e do segundo livro M a probabilidade de 3/9. Logo, 4/10 x 3/9 = 2/5 x 1/3 = 2/15 = P1
Na 2ª Situação, temos na primeira retirada de um livro M a probabilidade de 4/10 e do segundo livro F a probabilidade de 6/9. Logo, 4/10 x 6/9 = 2/5 x 2/3 = 4/15 = P2
Na 3ª Situação, temos na primeira retirada de um livro F a probabilidade de 6/10 e do segundo livro M a probabilidade de 4/9. Logo, 6/10 x 4/9 = 3/5 x 4/9 = 12/45 = 4/15 = P3
Agora, temos que somar todas as probabilidades das situações possíveis. Ou seja, somar as probabilidades das situações 1, 2 e 3.
Portanto, temos que:
P1 + P2 + P3 =
2/15 + 4/15 + 4/15 =
10/15 =
2/3
RESPOSTA: CERTA
Essa seria uma outra maneira de responder.
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TODOS: 10*9/2*1= 45
NÃO QUERO......SOMENTE FÍSICA: 6*5/2*1= 15
QUERO...............PELO MENOS UM DE MATEMÁTICA: TODOS - FÍSICA = 45-15= 30
30/45= 2/3
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Gabarito: Certo.
Só pensar pela probabilidade complementar. Se ele quer pelo menos um de matemática, o complementar é nenhum de matemática. Assim:
6/10 da primeira retirada.
5/9 da segunda retirada.
Multiplicando as duas, chegamos a 2/3. Como eu quero a complementar, tenho que verificar quanto falta pra 1:
1 - 1/3 = 2/3.
Bons estudos!
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CERTO
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Simples e didático.
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1º possibilidade os dois serem de matemática: 4/10 x 3/09 = 12/90
2º possibilidade o primeiro ser de matemática e o segundo de física: 4/10 x 6/9 = 24/90
3º possibilidade o primeiro ser de física e o segundo de matemática: 6/10 x 4/9 = 24/90
Agora soma os numeradores (as possibilidades) e divide pelo denominador comum.
12 + 24 + 24 = 60/90
60/90 (simplifica cortando os zeros e dividindo por 3 os dois)
2/3
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4/6 ( 4 de matemática e ¨6 de física)
Simplifica 4/6 e então temos 2/3.
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Comece excluindo a probabilidade de todos serem de física:
6/10 * 5/9 = 6/18
Se a probabilidade de todos serem física é de 6/18, então a probabilidade de pelo menos um ser de matemática é 12/18, simplificando teremos 2/3.
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meu cérebro sempre vai pelo mais difícil ..#trash
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C10,2 - C6,2 = 45 - 15 = 30
30/45 = 2/3
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C4,2= 4.3= 12
C 6,2= 6.5= 30
12/20=
2/3
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Posssibilidades totais: C 10,2
Possibilidades de todos serem de física (o que eu não quero): C 6,2
Um - o outro = possibilidades de ser pelo menos 1 de matemática
45 - 15 = 30
30/45 = 2/3
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Também tem assim:
2---> Livros aleatoriamente escolhidos
6---> Apenas livros de Física.
2/6 - 1 = 4/6, que simplificando por 2 dá 2/3
Alguém sabe se esse pensamento também está correto ou foi sorte?
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GABARITO CORRETO
Total de 10 livros: 4 de matemática e 6 de física. Se dois livros forem escolhidos aleatoriamente, qual é a probabilidade de pelo menos um deles ser de matemática? O que satisfaz a questão: 1 ou 2 livros de matemática. O que eu não quero: 0 livros de matemática. Logo:
P (quero) = 100% - P (não quero)
P (quero) = C 10,2 - C 6,2
P (quero) = 45 - 15
P (quero) = 30 sobre o total de 45 = 30/45 que também significa 2/3.
"Se não puder se destacar pelo talento, vença pelo esforço"
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Total de livros = 10 livros.
4 livros de matemática
6 livros de física.
Ele quer: pelo menos 1 matemática
Então, o que ele não quer é F e F (porque os demais vão ter pelo menos 1 de matemática)
"e" = multiplicação.
F e F
1ª pegada: 6/10
2ª pegada: 5/9 (depois de pegar o primeiro livro, restam apenas 5 de física do total de 09 livros)
F. F = 6/10 . 5/9 = 1/3
Isso é o que ele não quer. Logo, retira-se isso do total.
total = 3/3
3/3 - 1/3 = 2/3
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Vamos utilizar a probabilidade complementar. O que não queremos? Não queremos que dois livros de física sejam selecionados.
P(que não quero) → 1º física 2º física
A probabilidade de o primeiro livro ser de física é 6/10.
A probabilidade de o segundo livro ser de física é 5/9.
Portanto, a probabilidade de os dois livros sorteados serem de física é 6/10 × 5/9 = 30/90 = 1/3
Portanto, a probabilidade que queremos, ou seja, a probabilidade de pelo menos um dos dois livros sorteados ser de Matemática é: 1 − (P indesejado) = 1 − 1/3 = 2/3
https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2018/12/27021118/FUB.pdf
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O que eu não quero? Todos de física = 6/10 x 5/9 = 1/3
O que eu quero? é o complemento = 2/3.
Objetividade é tudo.
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é só persistir!!! Força!!
Em 05/03/21 às 19:14, você respondeu a opção C.
Você acertou!
Em 15/02/21 às 21:19, você respondeu a opção E.!
Você errou!
Em 27/03/20 às 19:11, você respondeu a opção E.!
Você errou!
Em 24/01/19 às 12:32, você respondeu a opção E.!
Você errou!
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MATEMÁTICA 4/10 simplificando por 2 = 2/5
FÍSICA 6/9 simplifica por 3 = 2/3
COMO A QUESTÃO PEDIU PELO MENOS 1, GABARITO → CORRETO
#BORA VENCER
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GABARITO CERTO
Resolução do Prof. Guilherme Neves do Estratégia Concursos:
https://dhg1h5j42swfq.cloudfront.net/2018/12/27021118/FUB.pdf
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CADÊ O COMENTÁRIO DO PROFESSOR QC??????????????????????????????????????????????????????????????
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A QUESTÃO ENVOLVE ANÁLISE COMBINATÓRIA:
TOTAL DE COMBINAÇÕES POSSÍVEIS: C10,2 = 45 COMBINAÇÕES (UNIVERSO)
TOTAL DE COMBINÇÕES SEM NENHUM LIVRO DE MATEMÁTICA: C6,2 = 30
TOTAL DE COMBINÇÕES EM QUE VOU TER PELO MENOS 1 LIVRO DE MATEMÁTICA: C10,2 - C6,2 = 45 - 15 = 30
LOGO, EM 30 COMBINAÇÕES DA 45 POSSÍVEIS EU TEREI PELO MENOS 1 LIVRO DE MATEMÁTICA.
PROPAB = 30 / 45 = 2/3 ===>> GAB CERTO!!
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Fiz assim: Se a cada 10 tenho 4 matemática e 6 física, então a cada 1 mat. corresponde a 1,5 física, 2 mat. correspondem a 3 física. Logo, 2/3.
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Simples e Objetivo
Dentre as Possibilidades temos:
Faça pelo método de EXCLUSÃO!
Considere F e F e diminua do total.
P = 1 - (F e F)
P = 1 - (4/10 * 3/9)
P = 1 - (30/90)
P = 1 - 1/3
P = 2/3
Gabarito: CERTO
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Probabilidade de ser 2 livros de física: 6/10 * 5/9= 1/3
1 - 1/3
=2/3
1 - o que não quero.
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Muita explicação com o mesmo resultado, porém esse assunto é sobre a probabilidade de eventos complementares. (joga no canal do equaciona que ele ensina)
Vamos calcular o que eu não quero que é que é: 6/10 x 5/9 => 3/9
Joga na formula: p(a)+p(b)=1 => 2/3
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Vamos chamar
M = Matemática
F = Física
Buscamos a probabilidade de pelo menos um ser de matemática, ou seja, o espaço amostral E = {MM, MF, FM}.
A probabilidade de pelo menos um ser de matemática é:
P = P(MM) + P(MF) + P(FM)
P = 4/10 * 6/9 + 4/10 * 3/9 + 6/10 * 4/9
P = 24/90 + 12/90 + 24/90
P = 60/90
P = 2/3
GABARITO: CERTO
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SIMPLEXXX !!
Pelo menos um de ''M'' , faz o que não pode primeiro depois completa !!
FÍSICA e FÍSICA = 6/10 x 5/9 = 1/3 , LOGO O COMPLEMENTAR É 2/3
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Fiz por análise combinatória
Total de possibilidades
Menos o que eu não quero.
C(10,2)
=10x9 =90
90 ÷ 2 = 45
Ou Seja , posso escolher os dois livros de 45 maneiras diferentes.
- porém nessas 45 maneiras pode acontecer de nao sair nenhum livro de matematica (Ou seja, sair 2 de Física)
Agora basta fazer o total de possibilidades de sair dois livros de Física e retirar do total (45)
- Total de maneiras de sair dois livros de Física (O que eu não quero)
C(6,2)
=6x5 =30
30 ÷ 2 = 15
Ou Seja , posso escolher os dois livros de 15 maneiras diferentes.
TOTAL= 45 maneiras , menos 15 que não quero.
Sobra 30 maneiras de sair pelo menos um de matematica
45 é o total , logo 45 são os 3 terços, correto?
Dividindo 45 por 3, significa que cada 1/3 corresponde a 15 maneiras.
Se tenho 30 maneiras de escolher os livros de matematica significa que a chance é de 2/3
GABARITO CORRETO.
SERIA:
- possibilidade de sair pelo menos 1 de matematica (2/3)
- Possibilidade de não sair nenhum de matematica (1/3)
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Gente eu fiz assim, calculei a probabilidade de não ter nenhum livro de Matematica que é quando o primeiro e o segundo seriam livros de fisica. Assim, seria 6/10.5/9 o que deu 30/90 que simplificando seria 3/9. A partir disso foi so subtrair os 3/9 de 9/9 (total) o que deu 6/9 e simplificando por 3 deu 2/3.
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Resposta: CERTO.
Comentário no canal “EXATAS MAIS FÁCIL” no YouTube:
https://youtu.be/4RSxRk48YEg