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ID
2885080
Banca
FADESP
Órgão
IF-PA
Ano
2018
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

Considere um polígono regular de n lados inscrito numa circunferência de raio r . O perímetro deste polígono é dado por

Alternativas
Comentários

  • Ao desenharmos um polígono regular inscrito em uma circunferência, vemos que a distância do centro da circunferência até os vértices do polígono é o raio R. Formam-se assim N triângulos iguais, possuindo dois lados de medida R e um lado de medida desconhecida que chamaremos de L. O ângulo central deste polígono de N lados, que chamaremos de alfa, é:

    alfa=2π/N

    Utilizando a Lei dos Cossenos, teríamos:

    L²=R²+R²-2*R*R*cos(2π/N)

    L²=2R²-2R²*cos(2π/N)

    Deixando em evidência o fator comum "2R²":

    L²=2R²(1-cos(2π/N))

    Tirando a raiz:

    L=raiz[2R²(1-cos(2π/N))]

    L=R*raiz(2-2cos(2π/N))

    L é apenas a medida de um dos lados do polígono. Seu perímetro é dado pela multiplicação do tamanho L do lado pela quantidade N de lados:

    P=L.N => L=P/N

    Substituindo o valor de L acima, temos a resposta

    P/N=R*raiz(2-2cos(2π/N))

    Ou seja:

    P=N*R*raiz(2-2cos(2π/N))

    Gabarito B