Questão 2963626

• Banca: FGV
• Órgão: IBGE
• Ano: 2017
• Provas: FGV - 2017 - IBGE - Analista Censitário - Métodos Quantitativos
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Distribuição Binomial; Principais distribuições de probabilidade; Variável aleatória discreta

Sejam X₁, X₂, X₃, ..., X₆₄ variáveis aleatórias discretas, com distribuição Binomial, todas com p = 0,25 e n = 12. Também são conhecidos valores da função distribuição acumulada da normal-padrão, mais especificamente:

ɸ(2) = 0,977, ɸ(1,5) = 0,933, ɸ(1,25) = 0,894

No caso da extração de uma amostra (n = 64), a probabilidade (desprezando o ajuste de continuidade) de que a soma dos valores seja superior a 207 é igual a:

• A. 0,023;
• B. 0,046;
• C. 0,067;
• D. 0,106;
• E. 0,134.

Gabarito: D

Comentários

• Alguém??

• Para cada amostra Xi, temos

  Valor Esperado: E(Xi) = np = 12*0,25 = 3

  Variância: Var(Xi) = np(1-p) = 3*(1-0,75) = 2,25

  Para o somatório do conjunto de 64 amostras, temos

  Valor Esperado: E(X) = 64*E(Xi) = 192

  Variância: Var(X) = 64*Var(Xi) = 64*2,25 = 144

  A questão pede a probabilidade do somatório ser maior que 207 e dá valores da função distribuição acumulada da normal-padrão, logo, devemos aproximar a Distribuição Binomial pela Normal, cuja fórmula é

  Z = (X − np) / (np(1 − p))^0,5

  Ou, no nosso caso,

  Z = (X − E(X)) / (Var(X))^0,5

  Que resulta em Z = (207 − 192) / (144)^0,5 = 15/12 = 1,25

  Pelos dados da questão, temos

   ɸ(1,25) = 0,894

  O que significa que a probabilidade de que a soma dos valores seja inferior a 207 é igual a 89,4%, o que significa que a probabilidade de que a soma dos valores seja superior a 207 é igual a 100% - 89,4% = 10,6%, ou 0,106

• colega se equivocou na hora de digitar

  onde lê-se "Variância: Var(Xi) = np(1-p) = 3*(1-0,75) = 2,25"

  na verdade é "Variância: Var(Xi) = np(1-p) = 3*(1-0,25) = 2,25", afinal p=0,25

• Uma distribuição binominal B(n,p) pode ser aproximada por uma Normal(np, np(1-p)).

  A soma de distribuições normais independentes é também distribuição normal cuja média é a soma das médias e a variância é a soma das variâncias.