Como a única força atuante é a força elástica, então as únicas energia envolvidas no sistema são a energia potencial elástica e a energia cinética. No início (em t₀=0), a distância entre P₁ e P₂ é de 5/4-1=1/4, ou seja, a mola está em seu comprimento natural e não há energia potencial elástica. Mas P₁ apresenta velocidade v=√K/2, então o sistema apresenta energia cinética. No instante t₁>t₀ em que os pontos estiverem à maior distância possível, toda a energia cinética será convertida em energia potencial elástica da mola. Dessa forma, pela conservação da energia:
Ec=Ep
m.v²/2=K.x²/2
1.(√K/2)²/2=K.x²/2
K/8=K.x²/2
x²=1/4
|x|=1/2
Como 1/2>1/4, não é possível que essa deformação seja de compressão. Dessa forma, a mola deve ter sofrido uma extensão de 1/2. Seu comprimento final deve ser então L=L₀+x=1/4+1/2=3/4.
Sabendo as distâncias OP₁=1, OP₂=5/4 e P₁P₂=L=3/4, podemos calcular o ângulo entre os segmentos OP₁=1 e P₁P₂ pela lei dos cossenos, aplicada no triângulo OP₁P₂ em relação ao ângulo desejado:
(OP₂)²=(OP₁)²+(P₁P₂)²-2.(OP₁).(P₁P₂).cos(θ)
(5/4)²=(1)²+(3/4)²-2.(1).(3/4).cos(θ)
25/16=1+9/16-(3/2).cos(θ)
0=-(3/2).cos(θ)
cos(θ)=0
θ=π/2
Eu sei que na hora da prova não temos muito tempo para isso, mas eu sugiro que desenhe o esquema apresentado, com os seus respectivos pontos e a velocidade indicada como um vetor.
Percebemos que o ponto P2 está parado, e que o P1 só apresenta velocidade no eixo de y. Os pontos P1 e P2 estão no mesmo eixo das abcissas. Como P1 apenas vai se movimentar no eixo das ordenadas, y, é fácil perceber que a maior distância entre os pontos é quando estes dois estiverem paralelos ao eixo de y. Não sabemos qual o valor da deformação máxima da mola, mas ela acontecerá justamente quando o ângulo entre os pontos é ortogonal, pi/2.
Um caso: imagine que o ponto P2 está fixo, com há uma mola os ligando, a trajetória de P1 seguirá a de uma elipse, mas a maior distância dessa elipse é quando P1 estiver no ponto mais alto, e seu ângulo entre eles é ortogonal. Caso P2 não for fixo, P1 seguirá subindo e P2 vai se movimentar para esquerda, e novamente, a maior altura de P1 for ortogonal.
Espero ter sido claro no pensamento. Se houver algum erro, por favor, indique.
Bons estudos.