Para ser um quadrado perfeito:
• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos.
Exemplo: 9a – 6a + 1.
Agora, tiramos a raiz dos termos 9a e 1, que serão respectivamente 3a e 1. O dobro dessas raízes será 2 . 3a . 1 = 6a, que é igual ao termo do meio (6a), então concluímos que o trinômio é quadrado perfeito e a forma fatorada dele é (3a – 1).
No caso em questão: 2x^2 - 36√2x + 27a
I- Raiz quadrada de 2x^2 é igual a √2x
II- Raiz quadrada de 27a é igual a √27a
III- O dobro dessas raízes será: 2.√2x.√27a
Como já sabemos o resultado do item III, a expressão ficará assim:
2.√2x.√27a = 36√2x
√27a=18
a=12, pois 27x12=324 e a raiz desse número é igual a 18.
O trinômio quadrado perfeito possui dois monômios que são quadrados perfeitos, ou seja, possuem raiz quadrada exata e, além disso, um monômio que é exatamente igual ao dobro do produto das raízes quadradas dos outros dois.
Observe o trinômio 2x - 36√2x + 27a.
Para que ele seja quadrado perfeito, deve atender às “exigências” acima.
Daí, temos que ‘2x^2’e ‘27a’ devem possuir raiz exata.
A raiz de ‘2x^2 é √2x e a raiz de 27a é √27a’.
Além disso, 36√2x x deve ser o dobro do produto entre √2x e √27a.
Assim, temos a seguinte igualdade:
2 . √2x . √27a = 36 √2x --- Cortando-se √2x com √2x, temos:
2 . √27a = 36
√27a = 36/2
√27a = 18
Como 18 é a raiz de 324, então temos que:
27 . a = 324
a = 324/27
a = 12
Gabarito do monitor: Letra D