Questão 3069031

• Banca: IF-RR
• Órgão: IF-RR
• Ano: 2015
• Provas: IF-RR - 2015 - IF-RR - Professor - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Geometria Espacial; Pirâmides

A aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 6 cm. Além disso, a área da base dessa pirâmide é 3/4 da sua área lateral. Com base nestas informações são feitas as afirmações a seguir:

I – o apótema da base e o apótema da pirâmide medem, respectivamente, 3√3cm e 4√3cm;

II – a área total da pirâmide mede 126√3cm²;

III – o volume da pirâmide mede 270cm³.

Dos itens a seguir, o que traz informação CORRETA é:

• A. apenas II e III são verdadeiras;
• B. II é falsa;
• C. III verdadeira;
• D. I e III são falsas;
• E. I e II são verdadeiras, e III é falsa.

Gabarito: E

Comentários

• A pirâmide hexagonal tem 7 faces, 6 faces laterais e face da base.

  aresta = 6cm

  área da base = 3/4 da área lateral

  apótema da base: l√3/2 = 6√3/2 = 3√3 cm

  área da base: 6 l²√3/4 = 6*6²√3/4 = 54√3 cm²

  área da lateral: 6 b*h/2 = 6*g*l/2 = 6*g*6/2 = 36g/2 = 18g

  área da base = 3/4 da área lateral ⇒ 54√3 = 3*18g/4

  54√3*4 / 3*18 = g ⇒ g= 4√3 cm (g de geratriz = apótema da pirâmide)

  área da lateral: 18g = 18*4√3 = 72√3 cm²

  AT = AB+AL ⇒ 54√3 + 72√3 = 126√3 cm²

  Para achar volume precisa achar altura da pirâmide.

  g² = h²+apb² ⇒ (4√3)² = h² + (3√3)²

  h² = (4√3)² - (3√3)² ⇒ h² = (16*3) - (9*3) ⇒ h² = 48 - 27 ⇒ h² = 21

  h = √21

  volume = 1/3 * AB * h ⇒ 1/3 * 54√3 * √21 ⇒ 1/3 * 54 * √63

  V = 18 * 3√7 = 54√7 cm³