A questão está focando nos verbos que usam gerúndio e infinitivo, bem como os verbos com preposições.
I . I heard that she's looking forward to visit you. Errado. A partícula "to" que acompanha o advérbio "forward", é uma preposição. Sendo assim, o verbo que vem em seguida estará no gerúndio (. I heard that she's looking forward to visiting you.
II. She wanted that everyone understood her. Essa construção de frase está incorreta. O correto seria dizer: "She wanted everyone to understand her."
III. If you can't sleep, try taking sleeping pills. Correto. Após o verbo "try",nesse contexto, o qual "try" é usado como experimento para resolver um problema, temos corretamente, o verbo no gerúndio (taking)
IV. I'll never forget visiting Paris for the first time. Correto. Após o verbo "forget", temos corretamente, o verbo no gerúndio (visiting)
V. Remember locking the door on the way out. Errado. O verbo "remember", no imperativo, requer um verbo no infinitivo (to lock). Remember to lock the door on the way out.
Gabarito: C