A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à Análise Combinatória.
A Análise Combinatória, na Matemática, pode ser dividida, de uma forma geral, em Combinação e Arranjo.
Pode-se definir a Combinação da seguinte forma: contagem das possibilidades da composição de determinado subconjunto formado por p elementos distintos a partir de um conjunto global formado por n elementos distintos. Vale ressaltar que, na Combinação, a ordem dos elementos não importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é o mesmo conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo da Combinação é a seguinte:
C (n,p) = n! / (((n – p)!) * p!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “C” a Combinação.
Nesse sentido, é possível definir o Arranjo da seguinte forma: cálculo da quantidade de possibilidades para se formar um agrupamento ordenado de p elementos distintos dentre um conjunto global formado por n elementos distintos. Frisa-se que, no Arranjo, diferentemente da Combinação, a ordem dos elementos importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é diferente do conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo do Arranjo é a seguinte:
A (n,p) = n! / ((n – p)!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “A” o Arranjo.
Por fim, importa salientar que a expressão “!” significa fatorial, ou seja, a seguinte multiplicação:
n! = n * (n - 1) * (n – 2) * ... * 1.
A título de exemplo, segue a fatoração do número “5”:
5! = 5 * (5 – 1) * (5 – 2) * (5 – 3) * (5 – 4) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Referências Bibliográfica:
1. MORGADO, Augusto C.; CARVALHO, João B. P. de; CARVALHO, Paulo Cezar P.; FERNANDEZ, Pedro – Análise Combinatória e Probabilidade – 9ª ed. – Rio de Janeiro, SBM, 1991.
2. SANTOS, José Plínio O.; MELL, Margarida P.; MURARI, Idani T. C. – Introdução à Análise Combinatória – 4ª edição revista – Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2007.
Tal questão apresenta os seguintes dados, para a sua resolução:
1) Uma criança tranca sua bicicleta em um poste com dois cadeados com senha.
2) Cada senha é constituída de 3 algarismos distintos, escolhidos entre 0, 1, 2, 3 e 4 (porém as senhas podem se repetir). Ao tentar destrancar sua bicicleta ela nota que esqueceu as senhas.
3) A partir das informações acima, pode-se concluir que a situação em tela se trata de um Arranjo, já que a ordem dos elementos importa. Por exemplo, a senha "012" é diferente da senha "021".
Nesse sentido, tal questão deseja saber qual é o número máximo de tentativas diferentes necessárias para destrancar a bicicleta, considerando que uma tentativa consiste em escolher duas senhas simultaneamente, e que a bicicleta só estará destrancada se as duas senhas estiverem corretas simultaneamente.
Resolvendo a questão
Conforme explanado anteriormente, no contexto apresentado, trata-se de um Arranjo em que se escolherão 3 (três) algarismos distintos dentre um conjunto global formado por 5 (cinco) números - 0, 1, 2, 3 e 4. Frisa-se que as senhas podem se repetir. Logo, as duas senhas, por exemplo, podem ser iguais e, por isso, serão calculados 2 (dois) Arranjos de valores iguais.
Neste caso, cabe destacar que o resultado dos Arranjos deverá ser multiplicado, sendo que, no caso em tela, o resultado do Arranjo será elevado ao quadrado.
Ao serem escolhidos 3 (três) algarismos distintos dentre um conjunto global formado por 5 (cinco) números, o valor de p corresponde a 3 e o valor de n corresponde a 5. A partir disso, deverá ser feito o seguinte cálculo:
A (n,p) = n! / ((n – p)!), sendo que p = 3 e n = 5
A (5,3) = 5!/ ((5 - 3)!)
A (5,3) = 5!/2!
A (5,3) = (5 * 4 * 3 * 2 * 1)/(2 * 1)
A (5,3) = 5 * 4 * 3
A (5,3) = 60.
Elevando-se ao quadrado o valor encontrado acima, tem-se o seguinte:
(60)² = 3.600.
Logo, o número máximo de tentativas diferentes necessárias para destrancar a bicicleta é 3.600 (mais de 575).
Gabarito: letra "e".