Quatro irmãos saem para ir ao cinema com mais três amigos. Ao chegarem na sala do cinema, os irmãos e os três amigos percebem que existe exatamente uma fila, com sete poltronas lado a lado, para que pudessem se sentar. No entanto, uma única condição é imposta: os irmãos não poderiam sentar-se todos um ao lado do outro nas poltronas disponíveis.
Assim, a quantidade de formas distintas que os irmãos e os três amigos podem se sentar, respeitando a condição imposta, é igual a
A) 96.
B) 576.
C) 4 464.
D) 5 040.
""
Gabarito C
Irmãos separados = total - irmãos juntos
Total = 7! = 5040
Irmãos juntos = 4!x3!x4 = 576
Obs:
*4! é a forma como os irmãos, sentando um ao lado do outro, podem combinar-se entre si.
*3! é a forma como os 3 amigos podem combinar-se entre si.
*A multiplicação dos termos anteriores nos dá o número total de combinações em que os irmãos estão sentados todos juntos um ao lado do outro.
*A multiplicação por 4 é porque os irmãos podem sentar juntos um ao lado do outro de 4 maneiras diferentes: ocupando as cadeiras 1,2,3,4; 2,3,4,5; 3,4,5,6; 4,5,6,7.
Irmãos separados = 5040 - 576 = 4464.
Primeiramente, encontram-se todas as possibilidades de se ocupar as cadeiras. Essa quantidade é simplesmente a permutação entre 7 elementos.
7! = 5040
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É necessário, portanto, calcular quantas vezes os irmão aparecem lado a lado e depois subtrair da quantidade total de possibilidades.
Então, pode-se "aglutinar" os 4 irmão em um único bloco e chamar esse bloco de X, por exemplo. É como se agora existissem apenas 4 elementos.
Esse bloco pode ser considerado como uma única pessoa e pode ser permutado entre os 3 amigos. A permutação é representada por 4!
4! = 24
Essas serão as 24 formas que pode-se agrupar os 3 amigos mais os 4 irmão lado a lado.
Porém, dentro desse bloco os 4 irmão podem permutar entre si, logo, calcula-se a permutação dentro do bloco sendo 4!
4! = 24 -> Possibilidade de os irmão se agruparem lado a lado, ou seja, dentro do bloco.
Agora eu basicamente multiplico essas possibilidades: 24 x 24 = 576
Assim eu encontro o número de possibilidades em que os irmão encontram-se lado a lado.
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Encontrada a restrição, subtraio as possibilidades em que os irmão encontram-se lado a lado com a quantidade máxima de possibilidades, encontrando, assim, o número de possibilidades possíveis, dado a restrição imposta no enunciado.
5040 - 576 = 4464