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Y²<4 => -2<Y<2
P(-2<Y<2) = 0,4 => P(Y<-2) + P(Y>2) = 0,6
Como Y é simétrica em torno do 0 => P(Y<-2) = P(Y>2)
Logo P(Y>2) = 0,3
Letra B
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Se temos uma distribuição simétrica em torno do 0 e 40% (0,4) das observações para Y² são < 4, considerando que só há resultados positivos para Y² (0 ao 4), restam-me 10% (0,1) das observações até à metade positiva.
Logo, tenho 50% (0,5) até o 5, o que me permite inferir que para Y > 2 eu possuo a diferença entre 50% das observações da parte positiva e os 20% que se iniciam no número 2.
Sendo 30% (0,3) o resultado.
GABARITO: B.
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Para quem está em dúvida, como resolver Y² < 4 (I), pode ser resolvido como Y² = 4, onde Y' = 2 e Y''= -2. Estes valores de Y seriam os pontos onde Y = 4, porém como estamos lidando com uma inequação em (I), o Y deve estar no intervalo aberto -2 < Y < 2 (II).
Note que em (II), o zero marcaria a simetria entre os dois valores de Y. Da mesma forma, o problema afirma que a variável aleatória Y é simétrica em torno de zero. Portanto, P(Y<-2) e P(Y>2) são iguais, já que estão a mesma distância do eixo de simetria, no caso, zero.
A questão também afirma que P(Y² < 4) = 0,4, de (II), temos que P(-2 < Y < 2) = 0,4 que é o mesmo que P(Y<-2) + P(Y>2) = 0,4. Por simetria, temos que P(Y<-2) = 0,2 e P(Y>2) = 0,2.
Sabendo que cada lado do eixo de simetria tem probabilidade acumulada [P(0<Y<infinito)] de 0,5 e que P(Y>2) = 0,2, tem-se que P(2<Y<infinito) = 0,5 - 0,2 = 0,3.
Em resumo, cada lado da curva de distribuição tem 50% das probabilidades. A probabilidade de Y estar entre de 0 e 2, corresponde a 20%, então a probabilidade pedida pelo problema, que seria de Y ser maior que 2, é 30%( 50% - 20%).
Não sei se ficou mais claro, mas espero ter ajudado.
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Explicação expressa:
P(Y²<4) = 0,4;
P(-2<Y<2) = 0,4;
Por ser simétrica em zero, sabemos que P(0<Y<2) = 0,2;
Portanto, P(Y>2), que a parte complementar, corresponde a toda área direita de zero (50%) menos a parte de 0 a 2, ou seja,
P(Y>2) = 0,5 - 0,2;
P(Y>2) = 0,3.
GABARITO B
Explicação um pouco mais detalhada:
Primeiro devemos entender as implicações que a informação "simétrica em torno de zero" reflete em nosso problema. Imagine uma curva normal padrão, aquela que tem média igual a zero. Pronto, basicamente é essa figura que você deve desenhar no seu caderno. A simetria implica que cada lado da curva conterá 50% de probabilidade (50% de ser menor que zero, 50% de ser maior que zero).
Foi dado que P(Y²<4) = 0,4, tirando a raiz quadrada de ambos os lados e atentos ao fato que existirá uma raiz negativa, obtemos que P(-2<Y<2) = 0,4. Caso haja dúvidas aqui, sugiro estudar inequações, é um tópico rápido.
Agora vamos pensar no que queremos: P(Y>2).
No desenho da curva simétrica, marque o ponto -2 e o ponto +2 no eixo x, e toda área compreendida enter esses dois pontos e a curva corresponderá a 0,4 (40%). Veja, de -2 a 2, a probabilidade é de 40%, mas por simetria, é possível detectar que de 0 a 2, a probabilidade é a metade, ou seja, 0,2 (20%). Lembre-se, a probabilidade de 0 ao infinito é 50% (novamente, porque é simétrico). Pronto, se de 0 ao infinito é 50% e de 0 a 2 é 20%, então o resto (de 2 ao infinito) é 50% - 20% = 30% (0,3). Portanto, P(Y>2) = 0,3.
Espero ter ajudado.
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https://www.youtube.com/watch?v=x9IiAoydsfk
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De modo simples:
y² < 4
y < +ou- raiz de 4
y < +ou- 2
-2 < y < 2 = 0,4
A porcentagem de y está entre -2 e 2 é de 40%, portanto as extremidades tem a porcentagem de 30% cada.
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y² < 4
y < +- √ 4
y < -2 ou 2
-2 < y < 2 = 0,4 ou 40%
No gráfico:
----30%-----|-----------40%-----------|----30%----
------------(-2 <) --------Y-----------(< 2)-----------
Gabarito: B
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