SóProvas


ID
3473671
Banca
IADES
Órgão
CAU-MT
Ano
2019
Provas
Disciplina
Matemática
Assuntos

João compareceu ao supermercado para comprar óleo (garrafa de 1 litro), arroz (saco de 5 kg), feijão (saco de 1 kg), farinha de trigo (pacote de 1 kg) e leite (caixa de 1 litro). Sabendo que ele comprou um total de 20 volumes, incluindo, no mínimo, 3 caixas de leite e pelo menos 2 unidades (ou 2 volumes) de cada um dos demais produtos, é correto afirmar que a quantidade de maneiras diferentes de que ele poderia ter realizado a compra é igual a

Alternativas
Comentários
  • FUDEU!

  • Considere:

    x_1 - número de volumes de óleo;

    x_2 - número de volumes de arroz;

    x_3 - número de volumes de feijão;

    x_4 - número de volumes de farinha;

    x_5 - número de volumes de leite.

    Sabemos que no total João comprou 20 volumes, logo:

    x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 20.

    além disso, sabemos que ele comprou no mínimo 3 caixas de leite e pelo menos duas unidades de cada um dos outros produtos. Então:

    x_5 ? 3 (maior ou igual à 3)

    x_1 ? 2

    x_2 ? 2

    x_3 ? 2

    x_4 ? 2

    Agora, observe que:

    x_1 ? 2          então x_1 - 2 ? 0

    x_2 ? 2         então x_2 - 2 ? 0

    x_3 ? 2        então x_3 - 2 ? 0

    x_4 ? 2        então x_4 - 2 ? 0

    x_5 ? 3       então x_5 - 3 ? 0

    Dessas expressões acima fazemos a seguinte mudança de variável:

    y_1 = x_1 - 2 então x_1 = y_1 + 2

    y_2 = x_2 - 2 então x_2 = y_2 + 2

    y_3 = x_3 - 2 então x_3 = y_3 + 2

    y_4 = x_4 - 2 então x_4 = y_4 + 2

    y_5 = x_5 - 3 então x_5 = y_5 + 3

    note que y_i ? 0 para i = {1,2,3,4,5}

    Assim, a equação original pode ser reescrita como:

    ( y_1 + 2 ) + (y_2 + 2) + (y_3 + 2) + (y_4 + 2) + ( y_5 + 3) = 20

    de onde obtemos:

    y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 = 9

    onde y_i ? 0 para i={1,2,3,4,5}

    Portanto a solução é o número de soluções inteiras não negativas da equação acima. Aplicando a fórmula para o número de soluções inteiras não negativas na equação acima temos:

    C13,4 = (13!) / ( 4! (13-4)!) = 13! / (4! 9!) = (13 . 12 . 11 . 10 . 9!)/(4! 9!) = (13 . 12 . 11 .10)/ 4!

    = (13 . 12 . 11 .10)/(4 . 3 . 2 . 1) = 715

    Logo, João poderia ter realizado esta compra de 715 maneiras diferentes.

  • Obrigado por responder essa questão misteriosa PHS. Vou tentar escrever de outra maneira.

    Vendo a explicação do PHS temos

    A+B+C+D+... = termo independente

    Aplicando na questão, pra achar o termo independente:

    (Arroz+2)+(óleo+2)+(feijão+2)+(farinha+2)+(Leite+3) = 20

    Arroz+óleo+feijão+farinha+leite+11= 20

    Arroz+óleo+feijão+farinha+leite = 20-11

    Arroz+óleo+feijão+farinha+leite = 9

    Agora a fórmula para encontrar a quantidade de soluções inteiras não negativas é:

    quantidade= (número de icógnitas+termo independente -1)! dividido pelo (termo independente)! x (número de icógnitas -1)!

    Número de icógnitas é o número de alimentos, no caso, 5.

    Termo independente é 9.

    De resto o PHS colocou o cálculo, estou apenas reproduzindo em

    quantidade = (5+9-1)! dividido por 9! x (5-1)!

    quantidade = 13! / (9! x 4!)

    13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! x 4! -

    Corta o 9! de cima e o 9! de baixo, (o miserável é um gênio) então sobra:

    13 x 12 x 11 x 10 / 4 x 3 x 2 x 1

    17160 / 24 = 715 maneiras diferentes.

  • Não precisa surtar.

    1) O enunciado diz que tem ser 3 leites e 2 dos outros quatro itens. São 11 de 20 que já não têm escolha.

    2) Então, temos que escolher 9 produtos dos 5 itens disponíveis.

    3) Como a ordem não importa, é combinação. Aquela estória de C n,p = n! / p! (n-p)!

    4) MAS isso é uma combinação com repetição, porque as escolhas podem ser repetidas e são em número maior que a quantidade de opções.

    5) Para combinação com repetição, a fórmula é um pouco diferente: C n+p-1, p

    6) Escolhas (p) = 9, total de opções (n) = 5.

    7) Aplicando na fórmula: C 5+9-1, 9

    8) C 13,9 = 13! / 9! (13-9)! = 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! x 4! = 13 x 12 x 11 x 10 / 24 = 13 x 11 x 5 = 715

    LETRA B

    Mas foi um ponto fora da curva, pra tirar uma galera da competição. Mas fica o aprendizado pra usar combinação quando a escolha não importa a ordem e o esquema n+p-1 para quando a quantidade de escolha for maior que a quantidade de opções.

  • Tenho 5 opções de alimentos

    Obrigatoriamente

    Com 3 leites, 2 óleos, 2 un. de arroz, 2 feijões, 2 farinhas = 11

    sobraram 9 pra que eu pudesse dividir entre os 5 tipos de alimentos.

    combinação com repetição

    fórmula bola/traço

    C 9,5 = 9bolas | __ | __ | __ | __ = em cima é a quantidade de bolas que+ quantidade de traços = 13!

    em baixo é a quantidade de bolas = 9! e quantidade de traços =4!

    Reparem: Bola+traço / bola e traço

    Fica 13! / 9! 4! = 715

  • Procurem por "método bola-traço", ele é uma forma simplificada de entender Combinação com repetição.

  • Pra quem ficou perdido como eu, indico assistir essa aula e resolver as fórmulas com as informações da questão:

    https://www.youtube.com/watch?v=NlxNx_m1YBo

  • Chute bonito minino.