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FUDEU!
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Considere:
x_1 - número de volumes de óleo;
x_2 - número de volumes de arroz;
x_3 - número de volumes de feijão;
x_4 - número de volumes de farinha;
x_5 - número de volumes de leite.
Sabemos que no total João comprou 20 volumes, logo:
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 20.
além disso, sabemos que ele comprou no mínimo 3 caixas de leite e pelo menos duas unidades de cada um dos outros produtos. Então:
x_5 ? 3 (maior ou igual à 3)
x_1 ? 2
x_2 ? 2
x_3 ? 2
x_4 ? 2
Agora, observe que:
x_1 ? 2 então x_1 - 2 ? 0
x_2 ? 2 então x_2 - 2 ? 0
x_3 ? 2 então x_3 - 2 ? 0
x_4 ? 2 então x_4 - 2 ? 0
x_5 ? 3 então x_5 - 3 ? 0
Dessas expressões acima fazemos a seguinte mudança de variável:
y_1 = x_1 - 2 então x_1 = y_1 + 2
y_2 = x_2 - 2 então x_2 = y_2 + 2
y_3 = x_3 - 2 então x_3 = y_3 + 2
y_4 = x_4 - 2 então x_4 = y_4 + 2
y_5 = x_5 - 3 então x_5 = y_5 + 3
note que y_i ? 0 para i = {1,2,3,4,5}
Assim, a equação original pode ser reescrita como:
( y_1 + 2 ) + (y_2 + 2) + (y_3 + 2) + (y_4 + 2) + ( y_5 + 3) = 20
de onde obtemos:
y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 = 9
onde y_i ? 0 para i={1,2,3,4,5}
Portanto a solução é o número de soluções inteiras não negativas da equação acima. Aplicando a fórmula para o número de soluções inteiras não negativas na equação acima temos:
C13,4 = (13!) / ( 4! (13-4)!) = 13! / (4! 9!) = (13 . 12 . 11 . 10 . 9!)/(4! 9!) = (13 . 12 . 11 .10)/ 4!
= (13 . 12 . 11 .10)/(4 . 3 . 2 . 1) = 715
Logo, João poderia ter realizado esta compra de 715 maneiras diferentes.
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Obrigado por responder essa questão misteriosa PHS. Vou tentar escrever de outra maneira.
Vendo a explicação do PHS temos
A+B+C+D+... = termo independente
Aplicando na questão, pra achar o termo independente:
(Arroz+2)+(óleo+2)+(feijão+2)+(farinha+2)+(Leite+3) = 20
Arroz+óleo+feijão+farinha+leite+11= 20
Arroz+óleo+feijão+farinha+leite = 20-11
Arroz+óleo+feijão+farinha+leite = 9
Agora a fórmula para encontrar a quantidade de soluções inteiras não negativas é:
quantidade= (número de icógnitas+termo independente -1)! dividido pelo (termo independente)! x (número de icógnitas -1)!
Número de icógnitas é o número de alimentos, no caso, 5.
Termo independente é 9.
De resto o PHS colocou o cálculo, estou apenas reproduzindo em
quantidade = (5+9-1)! dividido por 9! x (5-1)!
quantidade = 13! / (9! x 4!)
13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! x 4! -
Corta o 9! de cima e o 9! de baixo, (o miserável é um gênio) então sobra:
13 x 12 x 11 x 10 / 4 x 3 x 2 x 1
17160 / 24 = 715 maneiras diferentes.
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Não precisa surtar.
1) O enunciado diz que tem ser 3 leites e 2 dos outros quatro itens. São 11 de 20 que já não têm escolha.
2) Então, temos que escolher 9 produtos dos 5 itens disponíveis.
3) Como a ordem não importa, é combinação. Aquela estória de C n,p = n! / p! (n-p)!
4) MAS isso é uma combinação com repetição, porque as escolhas podem ser repetidas e são em número maior que a quantidade de opções.
5) Para combinação com repetição, a fórmula é um pouco diferente: C n+p-1, p
6) Escolhas (p) = 9, total de opções (n) = 5.
7) Aplicando na fórmula: C 5+9-1, 9
8) C 13,9 = 13! / 9! (13-9)! = 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! x 4! = 13 x 12 x 11 x 10 / 24 = 13 x 11 x 5 = 715
LETRA B
Mas foi um ponto fora da curva, pra tirar uma galera da competição. Mas fica o aprendizado pra usar combinação quando a escolha não importa a ordem e o esquema n+p-1 para quando a quantidade de escolha for maior que a quantidade de opções.
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Tenho 5 opções de alimentos
Obrigatoriamente
Com 3 leites, 2 óleos, 2 un. de arroz, 2 feijões, 2 farinhas = 11
sobraram 9 pra que eu pudesse dividir entre os 5 tipos de alimentos.
combinação com repetição
fórmula bola/traço
C 9,5 = 9bolas | __ | __ | __ | __ = em cima é a quantidade de bolas que+ quantidade de traços = 13!
em baixo é a quantidade de bolas = 9! e quantidade de traços =4!
Reparem: Bola+traço / bola e traço
Fica 13! / 9! 4! = 715
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Procurem por "método bola-traço", ele é uma forma simplificada de entender Combinação com repetição.
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Pra quem ficou perdido como eu, indico assistir essa aula e resolver as fórmulas com as informações da questão:
https://www.youtube.com/watch?v=NlxNx_m1YBo
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Chute bonito minino.