Meu raciocínio foi o seguinte:
Podemos considerar uma situação na qual V ou F são letras de uma palavra, ou seja, que o gabarito fosse uma "palavra". Desse modo, cada gabarito diferente da prova seria um anagrama dessa "palavra". Observe a seguir:
Vamos supor que fosse uma prova com 10 questões, 5 verdadeiras (V) e 5 falsas (F); teríamos então por exemplo esta "palavra":
VVVVVFFFFF
Para calcular o número de gabaritos diferentes temos apenas que calcular os anagramas descontando as letras repetidas, ou seja:
P(10;5,5) = 10! / 5!5!
Para a situação descrita no exercício devemos apenas mudar os números colocando as 20 questões, sendo 10 falsas e 10 verdadeiras, ficando então:
P(20;10,10) = 20! / 10!10!
O gabarito, porém, não nos traz esta resposta como opção. Mas, se analisarmos a fórmula da combinação e substituirmos como na letra B (o gabarito da questão) temos:
C(n,p) = n! / p!(n-p)! --------> C(20,10) = 20! / 10!10! , que é numericamente igual ao resultado encontrado pelo
raciocínio da permutação!
C(20,10) = P(20;10,10), ou seja, C(20,10)= 20! / 10!10! , gabarito letra B!
Esse foi meu raciocínio, está sujeito a equívocos, mas acredito que seja isso! Espero que tenha ajudado!!!
Errei a questão, mas depois fui ler com mais cuidado:
"A prova original consistia de 20 afirmativas, das quais metade eram verdadeiras (V) e metade eram falsas (F)."
Então a combinação de 20 questões com 10 V e 10 F, assim C20,10 (para V) * C20,10 (para F).
Eu pensei da seguinte forma:
Imagina que as 20 questões são representadas em números de 1 ao 20. Esses números são escritos em papeizinhos individuais e colocados em um saco para o sorteio.
Agora com todos os 20 papeizinhos dentro do saco, eu vou sortear 10 números. Esses 10 números aleatórios vão representar o primeiro grupo de respostas VERDADEIRAS. (Repare que os outros 10 números do saco representam as respostas FALSAS)
Devolvo os 10 números para o saco e sorteio novamente mais 10 papeizinhos. Esses novos 10 números aleatórios vão representar o segundo grupo de respostas VERDADEIRAS.
Assim, sucessivamente faço isso até contemplar todas as possibilidades.
Ou seja, é uma combinação (a ordem que os números são tirados NÃO importa) de 20 papeizinhos tomadas de 10 em 10.
Espero ter ajudado.