Sendo x1, x2 e x3, as raízes do Polinômio, estando em P.A, teremos: (x1, x2, x3)
Sabendo que, numa PA, um termo é a média aritmética entre seu antecessor e seu sucessor, teremos:
x2 = (x1 + x3)/2
x1 + x3 = 2x2
Pelas relações de Girard, temos que a soma das raízes é igual a - b/a e, para o polinômio da questão, teremos:
x1 + x2 + x3 = - 3/1
x1 + x2 + x3 = - 3
substituindo x1 + x3, teremos:
x2 + 2x2 = - 3
3x2 = - 3
x2 = -1
Logo, concluímos que
x1 + x3 = 2.(- 1)
x1 + x3 = - 2
Ainda, pelas relações de Girard, temos:
x1.x2.x3 = -d/a
x1.x2.x3 = - (- 15)/1
x1.x2.x3 = 15
Como x2 = - 1, teremos:
x1.(- 1).x3 = 15
x1.x3 = - 15
Se x1 + x3 = - 2
então: x3 = - 2 - x1
Fazendo a substituição:
x1.(- 2 - x1) = - 15
-x1² - 2x1 + 15 = 0
x1 = 3 e x1 = - 5
Temos então:
x1 = - 5; x2 = - 1; x3 = 3
Utilizando, novamente, as relações de Girard:
(x1.x2) + (x1.x3) + (x2.x3) = c/a
(x1.x2) + (x1.x3) + (x2.x3) = - a/1
(x1.x2) + (x1.x3) + (x2.x3) = - a
(-5).(- 1) + (- 5).(3) + (- 1).(3) = - a
5 - 15 - 3 = - a
-a = - 13
a = 13