A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à Análise Combinatória.
A Análise Combinatória, na Matemática, pode ser dividida, de uma forma geral, em Combinação e Arranjo.
Pode-se definir a Combinação da seguinte forma: contagem das possibilidades da composição de determinado subconjunto formado por p elementos distintos a partir de um conjunto global formado por n elementos distintos. Vale ressaltar que, na Combinação, a ordem dos elementos não importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é o mesmo conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo da Combinação é a seguinte:
C (n,p) = n! / (((n – p)!) * p!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “C” a Combinação.
Nesse sentido, é possível definir o Arranjo da seguinte forma: cálculo da quantidade de possibilidades para se formar um agrupamento ordenado de p elementos distintos dentre um conjunto global formado por n elementos distintos. Frisa-se que, no Arranjo, diferentemente da Combinação, a ordem dos elementos importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é diferente do conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo do Arranjo é a seguinte:
A (n,p) = n! / ((n – p)!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “A” o Arranjo.
Por fim, importa salientar que a expressão “!” significa fatorial, ou seja, a seguinte multiplicação:
n! = n * (n - 1) * (n – 2) * ... * 1.
A título de exemplo, segue a fatoração do número “5”:
5! = 5 * (5 – 1) * (5 – 2) * (5 – 3) * (5 – 4) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Referências Bibliográfica:
1. MORGADO, Augusto C.; CARVALHO, João B. P. de; CARVALHO, Paulo Cezar P.; FERNANDEZ, Pedro – Análise Combinatória e Probabilidade – 9ª ed. – Rio de Janeiro, SBM, 1991.
2. SANTOS, José Plínio O.; MELL, Margarida P.; MURARI, Idani T. C. – Introdução à Análise Combinatória – 4ª edição revista – Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2007.
Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:
1) Um cliente do Banco GTY precisa de duas senhas para acessar sua conta corrente pela internet.
2) A primeira senha tem quatro algarismos distintos e a segunda é um código alfanumérico formado por duas letras distintas e um algarismo.
3) Cabe destacar que os algarismos vão de 0 a 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). Com esses algarismos, é possível escrever qualquer número. Logo, ao todo, são 10 algarismos.
4) Frisa-se que o nosso alfabeto possui, ao todo, 26 letras.
Por fim, frisa-se que a questão deseja saber, se um intruso quiser acessar a conta de um dos clientes do banco, sem conhecer as suas senhas, terá de acertar uma possibilidade, num total de quantas possibilidades.
Resolvendo a questão
A partir das informações acima, pode-se concluir o seguinte:
- Na primeira senha, ao se escolherem os 4 (quatro) algarismos distintos, há 10 opções.
- Na segunda senha, ao se escolherem as 2 (duas) letras distintas, há 26 opções e, ao se escolher 1 (um) algarismo, há 10 opções.
* Na situação em tela, importa destacar que a ordem dos elementos importa, pois, por exemplo, a senha "1234" é diferente da senha "1243". Logo, as situações configuram um arranjo.
Considerando as opções acima, é possível concluir o seguinte:
- Para se descobrir a quantidade de possibilidades possíveis referentes à escolha da primeira senha, deve ser feito o seguinte arranjo: A (10,4) = 10! / ((10 – 4)!) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6!)/6! = 10 * 9 * 8 * 7 = 5.040.
- Para se descobrir a quantidade de possibilidades possíveis referentes à escolha da segunda senha, inicialmente, devem ser feitos os seguintes arranjos:
- A (26,2) = 26! / ((26 – 2)!) = (26 * 25 * 24!)/24! = 26 * 25 = 650.
- A (10,1) = 10! / ((10 – 1)!) = (10 * 9!)/9! = 10.
Nesse sentido, devem ser multiplicados os resultados dos arranjos encontrados acima, para se descobrir a quantidade de possibilidades possíveis referentes à escolha da segunda senha, resultando o seguinte: 650 * 10 = 6.500.
Por fim, para se descobrir o total de possibilidades, para que, se um intruso quiser acessar a conta de um dos clientes do banco, sem conhecer as suas senhas, devem ser multiplicadas os valores encontrados e destacados acima, resultando o seguinte:
5.040 * 6.500 = 32.760.000.
Gabarito: letra "d".