A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à Análise Combinatória.
A Análise Combinatória, na Matemática, pode ser dividida, de uma forma geral, em Combinação e Arranjo.
Pode-se definir a Combinação da seguinte forma: contagem das possibilidades da composição de determinado subconjunto formado por p elementos distintos a partir de um conjunto global formado por n elementos distintos. Vale ressaltar que, na Combinação, a ordem dos elementos não importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é o mesmo conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo da Combinação é a seguinte:
C (n,p) = n! / (((n – p)!) * p!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “C” a Combinação.
Nesse sentido, é possível definir o Arranjo da seguinte forma: cálculo da quantidade de possibilidades para se formar um agrupamento ordenado de p elementos distintos dentre um conjunto global formado por n elementos distintos. Frisa-se que, no Arranjo, diferentemente da Combinação, a ordem dos elementos importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é diferente do conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo do Arranjo é a seguinte:
A (n,p) = n! / ((n – p)!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “A” o Arranjo.
Por fim, importa salientar que a expressão “!” significa fatorial, ou seja, a seguinte multiplicação:
n! = n * (n - 1) * (n – 2) * ... * 1.
A título de exemplo, segue a fatoração do número “5”:
5! = 5 * (5 – 1) * (5 – 2) * (5 – 3) * (5 – 4) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Referências Bibliográfica:
1. MORGADO, Augusto C.; CARVALHO, João B. P. de; CARVALHO, Paulo Cezar P.; FERNANDEZ, Pedro – Análise Combinatória e Probabilidade – 9ª ed. – Rio de Janeiro, SBM, 1991.
2. SANTOS, José Plínio O.; MELL, Margarida P.; MURARI, Idani T. C. – Introdução à Análise Combinatória – 4ª edição revista – Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2007.
Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:
1) Marcelo é o maior freguês de uma lanchonete cujo cardápio foi recentemente renovado.
2) No novo cardápio, há 5 opções de sanduíches, 6 opções de molhos e 4 opções de bebidas com sabores distintos.
3) Marcelo deseja experimentar todas as combinações possíveis de lanches, sempre consumindo um sanduíche, dois molhos e uma bebida.
Por fim, frisa-se que a questão deseja saber o número de maneiras distintas que Marcelo pode preparar o seu lanche, considerando o novo cardápio.
Resolvendo a questão
A partir das informações acima, pode-se concluir o seguinte:
- Ao se escolher 1 sanduíche, há 5 opções.
- Ao se escolherem 2 molhos, há 6 opções.
- Ao se escolher 1 bebida, há 4 opções.
Considerando as opções acima, é possível concluir o seguinte:
- Para se descobrir a quantidade de combinações possíveis referentes à escolha do sanduíche, deve ser feita a seguinte combinação: C(5,1) = (5 * 4 * 3 * 2 * 1)/(((5 - 1)!) * 1!) = 120/(4! * 1!) = 120/(4 * 3 * 2 * 1 * 1) = 120/24 = 5.
- Para se descobrir a quantidade de combinações possíveis referentes à escolha dos dois molhos, deve ser feita a seguinte combinação: C(6,2) = (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)/(((6 - 2)!) * 2!) = 720/(4! * 2!) = 720/(4 * 3 * 2 * 1 * 2 * 1) = 720/48 = 15.
- Para se descobrir a quantidade de combinações possíveis referentes à escolha da bebida, deve ser feita a seguinte combinação: C(4,1) = (4 * 3 * 2 * 1)/(((4 - 1)!) * 1!) = 24/(3! * 1!) = 24/(3 * 2 * 1 * 1) = 24/6 = 4.
Por fim, para se descobrir o número de maneiras distintas que Marcelo pode preparar o seu lanche, considerando o novo cardápio, devem ser multiplicadas os valores encontrados e destacados acima, resultando o seguinte:
5 * 15 * 4 = 75 * 4 = 300.
Portanto, o número de maneiras distintas que Marcelo pode preparar o seu lanche, considerando o novo cardápio, está compreendido entre 291 e 500.
Gabarito: letra "d".