A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à Análise Combinatória.
A Análise Combinatória, na Matemática, pode ser dividida, de uma forma geral, em Combinação e Arranjo.
Pode-se definir a Combinação da seguinte forma: contagem das possibilidades da composição de determinado subconjunto formado por p elementos distintos a partir de um conjunto global formado por n elementos distintos. Vale ressaltar que, na Combinação, a ordem dos elementos não importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é o mesmo conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo da Combinação é a seguinte:
C (n,p) = n! / (((n – p)!) * p!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “C” a Combinação.
Nesse sentido, é possível definir o Arranjo da seguinte forma: cálculo da quantidade de possibilidades para se formar um agrupamento ordenado de p elementos distintos dentre um conjunto global formado por n elementos distintos. Frisa-se que, no Arranjo, diferentemente da Combinação, a ordem dos elementos importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é diferente do conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo do Arranjo é a seguinte:
A (n,p) = n! / ((n – p)!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “A” o Arranjo.
Por fim, importa salientar que a expressão “!” significa fatorial, ou seja, a seguinte multiplicação:
n! = n * (n - 1) * (n – 2) * ... * 1.
A título de exemplo, segue a fatoração do número “5”:
5! = 5 * (5 – 1) * (5 – 2) * (5 – 3) * (5 – 4) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Referências Bibliográfica:
1. MORGADO, Augusto C.; CARVALHO, João B. P. de; CARVALHO, Paulo Cezar P.; FERNANDEZ, Pedro – Análise Combinatória e Probabilidade – 9ª ed. – Rio de Janeiro, SBM, 1991.
2. SANTOS, José Plínio O.; MELL, Margarida P.; MURARI, Idani T. C. – Introdução à Análise Combinatória – 4ª edição revista – Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2007.
Tal questão apresenta os seguintes dados, para a sua resolução:
1) Paula foi escolher o bolo de seu casamento e a confeiteira lhe ofereceu 7 opções de recheio, para escolher um, e 3 opções de cobertura, para escolher uma.
2) A partir da informação acima, pode-se concluir que a situação em tela se trata de uma Combinação, já que a ordem dos elementos não importa. Por exemplo, ao se escolher o recheio "A" com a cobertura "B", tem-se a mesma situação em que se escolhe a cobertura "B" com o recheio "A".
Nesse sentido, tal questão deseja saber quantas combinações Paula terá de opção para escolher, combinando um recheio com uma cobertura.
Resolvendo a questão
Conforme explanado anteriormente, no contexto apresentado, trata-se de uma Combinação em que se escolherá 1 (um) recheio dentre um conjunto global formado por 7 (sete) recheios e também se escolherá 1 (uma) cobertura dentre um conjunto global formado por 3 (três) coberturas. Neste caso, cabe destacar que o resultado das combinações deverá ser multiplicado.
Ao se escolher o recheio, o valor de p corresponde a 1 e o valor de n corresponde a 7. A partir disso, deverá ser feito o seguinte cálculo:
C (n,p) = n! / (((n – p)!) * p!), sendo que p = 1 e n = 7
C (7,1) = 7! / (((7 - 1)!) * 1!)
C (7,1) = (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((6!) * 1)
C (7,1) = (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 * 1)
C (7,1) = (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
C (7,1) = 7.
Nesse sentido, ao se escolher a cobertura, o valor de p corresponde a 1 e o valor de n corresponde a 3. A partir disso, deverá ser feito o seguinte cálculo:
C (n,p) = n! / (((n – p)!) * p!), sendo que p = 1 e n = 3
C (3,1) = 3! / (((3 - 1)!) * 1!)
C (3,1) = (3 * 2 * 1) / ((2!) * 1)
C (3,1) = (3 * 2 * 1) / (2 * 1 * 1)
C (3,1) = (3 * 2 * 1) / (2 * 1)
C (3,1) = 3.
Por fim, devem ser multiplicados os valores encontrados acima, a partir dos cálculos referentes à combinação.
Assim, tem-se o seguinte:
7 * 3 = 21.
Portanto, combinando um recheio com uma cobertura, Paula terá 21 opções diferentes para escolher.
Gabarito: letra "a".