Gab. Certo!
Questão trabalhosa, pois envolve vários conceitos, mas possível de se fazer. A meu ver, não deveria ser questão para o cargo de médico.
A piscina que o arquiteto pretende construir tem o mesmo volume que a do vizinho, portanto, o primeiro passo é descobrir esse volume.
Considerando que a piscina do vizinho possui uma parte funda e uma rasa, ambas com formato cúbico, seu volume total será o somatório dos volumes dos cubos. A fórmula genérica para o cálculo do volume de um prisma quadrangular é V = comprimento x largura x altura. Como o cubo possui todas as arestas iguais, o comprimento, a largura e a altura terão o mesmo valor, ou seja, V = aresta³.
A questão não informa quanto vale as arestas dos cubos, mas informa que a razão entre as profundidades (alturas) dos cubos é de 2 e a soma entre elas é 3, ou seja, se a altura do cubo menor vale "x", a altura do cubo maior vale "2x" e o somatório delas, x + 2x, é igual a 3, têm-se que x = 1, de modo que o cubo maior tem arestas iguais a 2 e o cubo menor tem arestas iguais a 1.
Calculando os volumes dos cubos e somando-os, o volume total da piscina do vizinho vale 2.2.2 + 1.1.1 = 8 + 1 = 9m³.
O volume de uma esfera vale V = (4.π.r³)/3. O volume de uma semiesfera nada mais é do que a metade, portanto V = (2.π.r³)/3.
Como o volume entre as piscinas é o mesmo, a semiesfera, que é a piscina do arquiteto, também terá volume igual a 9m³, de modo que (2.π.r³)/3 = 9, ou, resolvendo, r³ = 27/2π.
Por fim, a questão trata de uma pirâmide, cuja base quadrangular está inscrita na borda circular da piscina e o vértice toca a parte mais funda da piscina, querendo saber o seu volume.
Se desenharmos um quadrado inscrito em uma circunferência, perceberemos que as diagonais do quadrado equivalerão ao diâmetro da circunferência, ou seja, a metade da diagonal do quadrado equivale ao raio da circunferência. Com essas informações, é possível calcular o valor do lado do quadrado, a partir do triângulo retângulo formado. Lado² = r² + r², ou seja, l = r√2.
O volume de uma pirâmide vale V = (superfície da base x altura)/3, ou seja, (lado x lado x altura)/3. Porém, percebemos que a altura da pirâmide nada mais é do que o raio da semiesfera, já que parte do centro da borda circular e vai até o ponto mais profundo da semiesfera. Desta forma, o volume da pirâmide pode ser calculado por (lado x lado x raio)/3.
Substituindo todas as informações encontradas:
V = (lado x lado x raio)/3;
V = (r√2.r√2.r)/3;
V = (r³.2)/3;
V = ((27/2π).2)/3;
V = (27/π)/3;
V = 9/π m³.