A questão em tela versa sobre a disciplina de Matemática e o assunto inerente à Análise Combinatória.
A Análise Combinatória, na Matemática, pode ser dividida, de uma forma geral, em Combinação e Arranjo.
Pode-se definir a Combinação da seguinte forma: contagem das possibilidades da composição de determinado subconjunto formado por p elementos distintos a partir de um conjunto global formado por n elementos distintos. Vale ressaltar que, na Combinação, a ordem dos elementos não importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é o mesmo conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo da Combinação é a seguinte:
C (n,p) = n! / (((n – p)!) * p!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “C” a Combinação.
Nesse sentido, é possível definir o Arranjo da seguinte forma: cálculo da quantidade de possibilidades para se formar um agrupamento ordenado de p elementos distintos dentre um conjunto global formado por n elementos distintos. Frisa-se que, no Arranjo, diferentemente da Combinação, a ordem dos elementos importa, ou seja, neste caso, por exemplo, o conjunto (A,B) é diferente do conjunto (B,A). A fórmula para o cálculo do Arranjo é a seguinte:
A (n,p) = n! / ((n – p)!).
De modo a se facilitar a conta e o entendimento, iremos chamar de “A” o Arranjo.
Por fim, importa salientar que a expressão “!” significa fatorial, ou seja, a seguinte multiplicação:
n! = n * (n - 1) * (n – 2) * ... * 1.
A título de exemplo, segue a fatoração do número “5”:
5! = 5 * (5 – 1) * (5 – 2) * (5 – 3) * (5 – 4) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Referências Bibliográfica:
1. MORGADO, Augusto C.; CARVALHO, João B. P. de; CARVALHO, Paulo Cezar P.; FERNANDEZ, Pedro – Análise Combinatória e Probabilidade – 9ª ed. – Rio de Janeiro, SBM, 1991.
2. SANTOS, José Plínio O.; MELL, Margarida P.; MURARI, Idani T. C. – Introdução à Análise Combinatória – 4ª edição revista – Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2007.
Tal questão apresenta os seguintes dados os quais devem ser utilizados para a sua resolução:
1) Uma comissão de trabalho será formada entre os funcionários de um setor específico de uma Prefeitura. Este setor possui três Técnicos em Contabilidade, quatro Auxiliares de Serviços gerais e três Auxiliares de Secretaria.
2) A comissão de trabalho será composta por um Técnico em Contabilidade, dois Auxiliares de serviços gerais e dois Auxiliares de Secretaria.
Por fim, frisa-se que a questão deseja saber o número de maneiras possíveis de formar essa comissão.
Resolvendo a questão
A partir das informações acima, pode-se concluir o seguinte:
- Ao se escolher um Técnico em Contabilidade, há 3 opções.
- Ao se escolherem dois Auxiliares de serviços gerais, há 4 opções.
- Ao se escolherem dois Auxiliares de Secretaria, há 3 opções.
Considerando as opções acima, é possível concluir o seguinte:
- Para se descobrir a quantidade de combinações possíveis referentes à escolha do Técnico em Contabilidade, deve ser feita a seguinte combinação: C(3,1) = (3 * 2 * 1)/(((3 - 1)!) * 1!) = 6/(2! * 1!) = 6/(2 * 1 * 1) = 6/2 = 3.
- Para se descobrir a quantidade de combinações possíveis referentes à escolha dos dois Auxiliares de serviços gerais, deve ser feita a seguinte combinação: C(4,2) = (4 * 3 * 2 * 1)/(((4 - 2)!) * 2!) = 24/(2! * 2!) = 24/(2 * 1 * 2 * 1) = 24/4 = 6.
- Para se descobrir a quantidade de combinações possíveis referentes à escolha dos dois Auxiliares de Secretaria, deve ser feita a seguinte combinação: C(3,2) = (3 * 2 * 1)/(((3 - 2)!) * 2!) = (3 * 2 * 1)/((1!) * 2 * 1) = (3 * 2 * 1)/(1 * 2 * 1) = 6/2 = 3.
Por fim, para se descobrir o número de maneiras possíveis de formar essa comissão, devem ser multiplicadas os valores encontrados e destacadas acima, resultando o seguinte:
3 * 6 * 3 = 18 * 3 = 54.
Gabarito: letra "e".
Vou tentar facilitar:
Isso se trata de Combinação, que vem do princípio da permutação e parece Arranjo.
Se fosse arranjo, a ordem das pessoas no grupo faria diferença, mas aqui tanto faz se o Auxiliar de serviços gerais fosse a combinação por exemplo, do Pedro e Antônio ou Antônio e Pedro. Dá no mesmo, diferente do arranjo.
Então vamos lá.
Em combinação é melhor usar a fórmula.
C n,p = n! sobre p! (n-p!)
n é o total de opções e p é o número de pessoas necessárias.
Técnico de contabilidade, n=3 e p=1
Auxiliares de Serviços gerais n=4 p=2
Auxiliares de Secretaria n=3 p=2
Tendo esses valores, temos que aplicar o princípio da permutação, que basicamente é o que significa " ! ".
T.C = São 3 opções para 1 vaga, então já pressupomos que são 3 possibilidades.
A.S = 4!
2! (4-2!)
4! é --------------------------------------------------- 4.3.2.1 = 24
2.1 (4- [2.1]) --------------------------------------------------= 4
= 24/4 = 6
Au.S. = 3 opções para 2 vagas = a com b, a com c, b com c. 3 opções.
Portanto o resultado é 3x6x3 = 54.