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se a probabilidade de ser preta eh de 2 em 3, há na urna 2/3 de bolas pretas e 1/3 de bolas brancas.
considere: numero de bolas pretas = x
numero de bolas brancas = y
numero total de bolas = z
x = 2z/3
y = z/3
ao retirar 5 bolas pretas (x-5) e colocar 10 brancas (y+10), a quantidade de brancas passa a ser 4.(z+5)/7 (quatro setimos do novo total de bolas). logo:
y + 10 = (4z + 20)/7 ----> mas z = 3y, logo
y + 10 = (12y + 20)/7
5y = 50, logo y = 10
portanto z = 3y = 30... havia 30 bolas dentro da urna!!
ps: para confirmar a solução: se y = 10, x = 20 e z = 30... chance de tirar bola preta eh 2/3... retirando 5 pretas (15) e adicionando 10 brancas (20) a chance de tirar uma branca passa a ser 4/7... é verdade, pois a chance fica sendo 20/35 (numero de bolas brancas dividido pelo total de bolas)... 20/35 = 4/7... a resposta está certa... abs!!
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Gostaria de saber por que no gabarito a resposta é 30, pois já fis e refiz e dá 35.
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Tem que tomar cuidado com o enunciado. A pergunta é quantas bolas tem na urna. A retirada de 5 bolas pretas e colocação de 10 bolas brancas é um evento hipotético (se fossem retiradas 5 pretas e colocadas 10 brancas, não disse que foi feito isso).
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Sejam b bolas brancas e p bolas pretas na urna.
p / (p +b) = 2/3
Desenvolvendo, fica:
3p = 2(p+b)
3p = 2p + 2b
3p - 2p = 2b
p = 2b
Se forem retiradas da urna 5 bolas pretas e colocadas 10 bolas brancas, a nova composição da urna seria:
b+10 bolas brancas e p-5 bolas pretas; de acordo com o enunciado do problema e pela definição de probabilidade, poderemos escrever:
(b+10) / [(b+10) + (p-5)] = 4/7
Desenvolvendo, fica:
7(b+10) = 4[(b+10) + (p-5)]
7b + 70 = 4(b + p +5)
7b + 70 = 4b + 4p + 20
7b - 4b = 4p + 20 - 70
3b = 4p - 50
Como já vimos que p = 2b, vem, substituindo:
3b = 4(2b) - 50
3b = 8b - 50
3b - 8b = -50
-5b = -50
b = (-50)/(-5) = 10
Logo, p = 2b = 2.10 = 20
Portanto, existiam inicialmente na urna, p = 20 bolas pretas e b = 10 bolas brancas, totalizando 20 + 10 = 30 bolas
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Questão chata, mas vamos lá.
B + P = X, onde B = Bola Branca, P = Bola Preta e X = Total de Bolas na urna.
Percebemos que acrescentando 10 bolas (brancas) e diminuindo 5 bolas (pretas), é o mesmo que acrescentarmos 5 bolas a mais na urna.Se B = (1/3)*X
Então B + 10 = (4/7)*(X + 5)
(1/3)*X + 10 = (4/7)*(X + 5)
Resolvendo a equação é igual 30.
Resposta X = 30 (alternativa a)
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Luis Diego, errei simplesmente por que me esqueci de adicionar 5 ao novo total.
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Atentar para o que o enunciado pede, no caso é colocada uma condição na segunda parte da questão, "Se fossem retiradas da urna 5 bolas...", portanto a urna continua com a mesma quantidade de bolas do início, não prestando atenção nisto, você marca 35 como resposta e erra.
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eu fiz através do raciocino logico como a questao diz que , a probabilidade de que ela seja preta é 2/3 logo a probabilidade de que ela seja branca é de 1/3 ou seja o numero de bolas pretas é o dobro das bolas brancas. então conforme as alternativas oferecida na questao só existem 3 possibilidades de o valor das bolas pretas serem o dobro das bolas brancas que são as alternativas a,c ou d. com isso eu peguei o valor e fui simplificando para ver qual das tres daria o valor informado da probabilidade das bolas pretas que é de 2/3 ou seja a letra A- 30. veja abaixo:
BRANCAS PRETAS
10 20 probabilidade de que ela seja preta 20/30 que simplificado é 2/3 . Se fossem retiradas da urna 5 bolas pretas ficaria 20 - 5= 15 e colocadas 10 bolas brancas,ficaria 10+10= 20 ou seja 15 pretas e 20 brancas. entao a probabilidade de uma bola branca ser retirada ao acaso passaria a ser 20/35 que simplificado passaria ser 4/7.
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Para resolução da questão de forma simples é interessante encontrar equações que relacionem o número de bolas totais, brancas e pretas em dois diferentes momentos (valores iniciais e valores após acrescentar e retirar bolas)
B1 = 1/3.T1 --> T1 = 3.B1
P1 = 2/3.T1 --> T1 = 3/2.P1
I) B2 = B1 + 10 II) P2 = P1 - 5 III) T2 = T1 + 5 (O valor total do número de bolas após adicionar 10 bolas brancas e retirar 5 bolas pretas).
IV) B2 = 4/7.T2 --> IV) T2 = 7/4.B2 (substituindo B2 por B1+10) ---> IV) T2 = 7/4 (B1 + 10) --> T2 = (7B1 + 70)/4
Substituindo na eq. III T1 por 3.B1 --> V) T2 = 3.B1 + 5
Igualando as duas eq. encontradas para T2 --> (7B1 +70)/4 = 3B1 +5 ---> B1 = 10
Como T1 = 3.B1 ---> T1 = 30
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X = Quantidade de bolas
1ºmomento
BCA / X = 1 / 3 => BCA = X / 3
2º momento, retira 5 e acrescenta 10 ( x + 5 ):
(BCA + 10) / (X + 5) = 4 / 7
(x/3 + 10) / (x+5) = 4/7
x = 30
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Fiz testando as alternativas:
Sabemos que a probabilidade de sair bola preta é 2/3, isso significa 66,66%
Vamos começar testar as alternativas:
Alternativa a) 30
Se a quantidade de bolas for 30, isso significa que a quantidade de bolas pretas será 20 (pois, 66,66% de 30 é = 19,99, arredondamos para 20)
Sendo assim, a quantidade de bolas brancas é 10.
Agora, se retirarmos 5 bolas pretas e colocarmos 10 bolas brancas, ficamos com 15 bolas pretas e 20 bolas brancas, e com isso a probabilidade de retirar uma bola branca fica 20/35 = 4/7 (exatamente como disse o enunciado) - Essa é o gabarito da nossa questão.
Se testarmos as demais alternativas, nenhuma delas satisfaz a 2ª condição.
(se alguém for testar sempre arredonde os números para mais ou para menos dependendo do resultado)
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essa questão é mal formulada, deveria perguntar quantas bolas ''havia ou há'' na caixa, antes era 30 depois passou a ser 35.