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Observe que devemos considerar a rotação do cubo(podemos girar esse), então vamos as escolhas:
1ª face: Observe que escolha da letra da primeira face não faz diferença na contagem, por rotação sempre podemos voltar a mesma situação.
2ª face: Vamos colocar uma letra na face oposta, aqui a rotação não pode influenciar, logo teremos 5 possibilidades.
Outras faces: teremos que escrever nas 4 faces com 4 letras, logo teriamos 4!, mas devido a rotação contamos cada forma de escrital 4 vezes, logo teremos 4!/4 = 3!
Número total: 5*3! = 30
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Bom vou tentar explicar.
No cubo há seis lados, iniciamos com a primeira formação, que não deverá ser contada. Lados do cubo 1º 2º 3º 4º 5º 6º Não contar primeira B R A S I L Gira a 1ª vez o cubo = R A S I L B Gira a 2ª vez o cubo = A S I L B R Gira a 3ª vez o cubo = S I L B R A Gira a 4ª vez o cubo = I L B R A S Gira a 5ª vez o cubo = L B R A S I I
São 5 giros no cubo 6 maneiras de escreves a palavra BRASIL = 5 X 6 = 30
Bons estudos
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Faces opostas no 1º dado = BR - AS - IL (6 faces)
Faces opostas no 2º dado = BA - RS - IL (6 faces)
Faces opostas no 3º dado = BS - RA - IL (6 faces)
Faces opostas no 4º dado = BI - RA - SL (6 faces)
Faces opostas no 5º dado = BL - RA - SI (6 faces)
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Não entendi essa parada ai...
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Inalda Arraes Brasil tem 6 letras, 6x6= 36.....reveja seus conceitos! Obrigada!
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Discordo do gabarito afirmar que são 30 maneiras.
Apesar dos esforços dos colegas (agradeço-os por explicar), não vejo restrições em como dispor as letras no cubo (apenas requer uma letra em cada face). Chamo a atenção de que o problema nem citou que as letras deveriam ficar "sucessivamente" ou semelhante (respeitar a ordem dada, etc)
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A explicação do João Santos está perfeita! Consegui entender! Obrigado!
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Em um dado, uma vez que fixamos dois elementos opostos poderemos fazer a permutação dos outros 4 elementos. Porém os outros 4 elementos também se organizam em faces opostas entre si, numa espécie de círculo.
Ex: no dado com as faces B e I opostas tanto faz as demais faces serem RASL ou ASLR, pois na rotação do dado será a mesma coisa.
Assim, temos para calcular que fixar um dos lados, ex: B. Para o oposto de B temos 5 opções (letras restantes). As 4 faces que sobram calculamos como uma permutação circular: P4 = (4-1)!= 3!=6
Para o total temos então 5 (opções para face oposta) x 6 (permutação circular)=> 5x6=30
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Oi para todos !
Vamos achar em quantas posições diferentes o cubo pode se encontrar:
-Primeiro vamos enumerar as faces de 1 a 6.
-Com a face 1 voltada para baixo temos 4 posições que são rotações de 90º do cubo.
-Analogamente
temos 6.4 = 24 posições diferentes para o cubo O nº de possibilidades
de pintura para o cubo, quando a posição dele importa é 6! = 720
O nº de formas que o cubo pode ser pintado é 720/24 = 30 possibilidades
Fonte:http://www.tutorbrasil.com.br/forum/matematica-ime-ita/ita-1971-analise-combinatoria-permutacoes-simples-t4917.html
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De acordo com o enunciado, vierifca-se que a questão pode ser resolvida em duas etapas:
1) de quantas maneiras as 6 letras podem ser combinadas duas a duas (combinação simples);
2) de quantas maneiras as 4 letras restantes podem ser permutadas (permutação circular).
Primeira etapa:
C6,2 = 6! / 2! 4! = 6x5x4! / 2x4! = 30/2 = 15
Como as três maneiras abaixo são consideradas a mesma combinação, divide-se o valor encontrado por 3.
Assim, existem 5 maneiras de dispor as letras duas a duas.
Segunda etapa:
Fixadas duas faces, restam 4 letras que serão dispostas em forma circular. Para isso utiliza-se a permutação circular (Pc)
Como Pc = (n - 1)! , tem-se:
Pc = (4 - 1)! = 3! = 6
Concluindo,
como existem 5 maneiras de as 6 letras serem dispostas duas a duas e 6 maneiras de dispor as restantes em formas circular, o número de maneiras diferentes em que essas letras podem ser colocadas nas faces do cubo é 5 x 6 = 30.
Resposta C)
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O comentário da nossa amiga Fabiana Delmondes foi a correta, deve-se anexar um valor em uma face, sendo assim na outra face é possível colocar 5 valores, e o restante fica uma permutação circular (n-1)! , sendo n=4. Logo:
1x5x(4-1)! = 30
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Fixando duas letras quaisquer em 2 faces opostas (ex: cima e baixo do cubo), sempre que rotacionar ele 90º vai dar a mesma coisa só mudando a posição do cubo e não das letras que continuam na mesma face. É como se estivesse girando o cubo pra formar circulos, então 4 faces sempre vão repetir a mesma coisa.
Logo, tem-se uma permutação com repetição com 4 elementos repetindo: PR = 6!/4! = 6*5 = 30
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11) Uma professora precisa confeccionar uma prova de múltipla escolha com oito questões, cada qual com cinco alternativas (A, B, C, D e E). Ela quer que as respostas certas estejam o mais bem distribuídas possível entre as cinco alternativas A, B, C, D e E. Isso significa que, no gabarito, três das cinco letras aparecerão duas vezes e as outras duas letras aparecerão apenas uma vez. Por exemplo: AABBCCDE e ABCBDDEC são duas possibilidades. Quantas são as possibilidades de gabarito para essa prova?
a) 9400.
b) 16800.
c) 50400.
d) 252000.
e) 403200.
Aguem extremamente piedoso , poderia me explicar a questão? Gabarito: Alternativa C.
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Questão meio estranha, dá pra se perder em interpretações bem loucas.
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Por favor, alguém poderia me explicar por que eu não posso simplesmente imaginar cada face do cubo em um plano bidimensional e, então, utilizar Permutação? Não consigo entender por que devo rotacionar, utilizar duas faces opostas etc...
Agradeço qualquer ajuda. :-)
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- A questão de dado ou cubo que seja deve ser feita da seguinte forma:
Fixando duas letras em faces distintas, ao girar o cubo teremos posições idênticas, ou seja, colocando a, b ou b, a, não importa. Depois faça P6,4= 6!/4!=30. C
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Imaginem um cubo colocado no cento de uma mesa e duas pessoas uma de frente a outra, por exemplo João e Maria. Enquanto João vê a letra "R", Maria vê outra letra. Quando Maria passar a ver "R" João verá a mesma letra que Maria estava vendo, portanto isso NÃO é uma maneira diferente de colocar as letras. Na perspecticva de João, são 5 possível letras que Maria pode estar visualizando. Dessa forma, para a letra "R", exitem 1x5=5 possibilidades para lado oposto do cubo. Como são 6 letras, basta multiplicar a possibilidade de cada uma pelo total de letras, 5x6=30.
Acho que essa explicação ajuda. Se não for isso, ajudem-me vocês.
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É doeu pra entender a resolução imagine pra se virar na prova hahah
mas tamos ai na luta , a cada dia mais perto da vitória
Yes!
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Entendi foi é nada.
Prosseguimos.....
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e acordo com o enunciado, vierifca-se que a questão pode ser resolvida em duas etapas:
1) de quantas maneiras as 6 letras podem ser combinadas duas a duas (combinação simples);
2) de quantas maneiras as 4 letras restantes podem ser permutadas (permutação circular).
Primeira etapa:
C6,2 = 6! / 2! 4! = 6x5x4! / 2x4! = 30/2 = 15
Como as três maneiras abaixo são consideradas a mesma combinação, divide-se o valor encontrado por 3.
Assim, existem 5 maneiras de dispor as letras duas a duas.
Segunda etapa:
Fixadas duas faces, restam 4 letras que serão dispostas em forma circular. Para isso utiliza-se a permutação circular (Pc)
Como Pc = (n - 1)! , tem-se:
Pc = (4 - 1)! = 3! = 6
Concluindo,
como existem 5 maneiras de as 6 letras serem dispostas duas a duas e 6 maneiras de dispor as restantes em formas circular, o número de maneiras diferentes em que essas letras podem ser colocadas nas faces do cubo é 5 x 6 = 30.
Resposta C)
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Quando uma explicação não te convencer ( acontece direto comigo), a melhor coisa a fazer é tomar como verdade, e PONTO. ( Sem mimimi)
Digo isso por que sou a 1º a perder tempo tentando entender o porquê das coisas, e na realidade, na prova só precisamos acertar a questão.
Portanto vamos lá:
Questão falou em FACES DE UM CUBO? Anota aí : Já sabe que tem 2 FACES OPOSTAS e 4 FACES CIRCULARES.
Como resolver: São 2 eventos independentes ( 1 evento x outro evento):
1º - 2 lados opostos - Você tem 6 possib e escolhe e fixa 1 lado, agora restam 5 possib para o outro = 1x5 = 5 possib
2º - 4 lados circulares - Só fazer a fórmula de Permutação Circular - Pc(4) = (4-1)= 3! = 3x2x1 = 6
Agora é só multiplicar os eventos independentes = 5 x 6 = 30 possibilidades
Continuou sem entender, GRAVE o exemplo que você mais se identificou, e acerte na hora da prova!!! Boa sorte!!!
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Questão estranha. Discordo do que seria esse "organizadas de maneira diferente". Não deixou claro. Para mim basta analisar cada face do cubo como única. Como se fosse a face azul, vermelha, verde... Não entendi como todas faces iguais. Daí seria 6! = 720. Essa seria a lógica.
Pensando em como o cubo seria diferente ao "observar por fora" é outra coisa.
A questão deveria deixar claro que essa "organização" seria as formas como uma pessoa vê as letras de fora. Pra mim cada face é individualizada, independentemente se ficaria visualmente igual.
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Basta fazer o Total de possibilidades – Só Letras Repetidas: (6 X 6) – 6 = 36 – 6 = 30
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Não sei se foi coincidência, mas eu pensei em resolver a questão em dois passos:
1o. passo: Fazer uma Combinação entre os seis elementos para as quatro posições laterais do dado. C(6,4) = 15.
2o. passo: Restam duas letras para o topo e a base: 2*15 = 30.
Abraços.