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Para o primeiro dígito há 3 possibilidade: 5, 7 ou 8.
Quando o primeiro dígito é 5, permutam-se os outros 5 números = 120
Quando o primeiro dígito é 7 ou 8, permutam-se os 5 números, mas devem ser retiradas as repetições, já que cAsa = casA. Para fazer isso, o resultado da permutação de 5 deve ser dividido pela permutação de x, onde x é igual à quantidade de vezes que um número é repetido. O 5 aparece duas vezes:
P5 / P2 = 60
120 + 60 + 60 = 240
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Uma vez que a ordem dos elementos é importante devemos utilizar a permutação:
Para a senha ser maior que 500000 devemos começar a senha com os Número 5, 7 ou 8 e permutar os restantes:
5 _ _ _ _ _ permutação de 1, 2, 5, 7, 8 = 5! => 120 possibilidades
7 _ _ _ _ _ permutação de 1, 2, 5, 5, 8 = 5! => 120 possibilidades dividido por 2! = 60 (devido à presença do N°5 duas vezes)
vvffrrrrrjjijijir
8 _ _ _ _ _ permutação de 1, 2, 5, 5, 7 = 5! => 120 possibilidades dividido por 2! = 60 (devido à presença do N°5 duas vezes)
Somando as possibilidades: 120 + 60 + 60 = 240 possibilidades
Gabarito => Letra D)
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Combinação:
1,2,5,5,7,8
Possibilidades = 6 digitos
____ ____ ____ ____ ____ ____
4 5 4 3 2 1 = 4*5*4*3*2*1= 480
480/2=240 (pois o nº 5 aparece 2 vezes)
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Calcula-se o número de senhas sem restrição depois tirar aquelas que começam com 1 ou 2. Assim terei números maiores que 500000
Sem restrição
125578
Total de anagramas: 6! / 2! (Aqui, desconta-se 2! pela repetição dos cincos )
Total = 720 / 2
Total = 360
Total começando com 1:
|1| 25578 -> Permuta-se o resto
T = 5! / 2!
T = 120/2
T = 60
Total começando com 2:
|2| 15578 -> Permuta-se o resto
T = 5! / 2!
T=120/2
T = 60
Como a senha precisam começar com 5, 7 ou 8, precisamos excluir as possibilidades dele começar com 1 e 2. A resposta será o total sem restrição menos as possibilidades do número começar com 1 ou 2.
R = 360 - 60 - 60
R = 240
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Posibilidades = 6!/2 = 360
Impossibilidades = 5!/2 + 5!/2 = 120
A divisão por dois objetiva excluir as hipóteses em que o mesmo número é formado por conterem dois números 5.
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Pessoal fiz esta questão da seguinte forma utilizando permutação simples:
São 6 digitos, 4 deles podem se utilizados na primeira posição (5,5,7,8) por causa da restrição de 500.000 então:
_ X _ X _ X _ X _ X _
4 5 4 3 2 1
Mas como o 5 se repete duas vez divide por 2! e fica assim:
4 x 5!/2! = 240
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Fiz de uma forma tão simples e deu certo.
1, 2, 5, 5, 7 e 8 são 6 número = P6=6! = 720 / 6 (Número de elementos) = 120 (cada elemento tem 120 possibilidades) 120 x 2 ( 5,5)
resultado 240.
Se estiver errada, por favor me corrijam. abraços.
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Pessoal para quem não sabe o símbolo ! em Matemática, na Análise Combinatória, significa FATORIAL.
Ele não é usado sozinho, ficando sem sentido. É usado após um número natural que, assim empregado, corresponderá ao FATORIAL daquele número.
Exemplos:
3!Lê-se: fatorial de 3.0!Lê-se: fatorial de 0.15!Lê-se: fatorial de 15.Definição elementar de FATORIAL para números naturais:
1) 0! = 1
2) 1! = 1
3) Para qualquer natural n > 1, tem-se que n! = n(n – 1)!
Exemplos:
3!= 3·2! = 3·2·1! = 3·2·1 = 60!= 115!= 15·(14!) = 15·(14·13!) = 15·14·13·12! = ... = 15·14·13·12·11·10·9·8·7·6·5·4·3·2·1Perceba que a ideia da definição de fatorial de um número natural é desenvolver um produto de termos sucessivamente decrescentes por naturais consecutivos, a partir do valor indicado no próprio símbolo até chegar em 1.
A seguir uma lista dos fatoriais de números naturais.
nn!0111223642451206720750408403209362880103628800113991680012479001600136227020800148717829120015130767436800016209227898880001735568742809600018640237370572800019121645100408832000202432902008176640000 Agora, creio que fica mais fácil entender as resoluções dos nossos colegas abaixo.Espero ter contribuído.
Abs...
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Pessoal, ajudem-me pois sou novo em análise combinatória! Eu fiz assim eu não sei se posso.
Para que seja maior do que 500000, basta que neste caso, o primeiro seja 5. Como ele possúi duas opções de 5 para por no primeiro dígito, então fica:
2,5,4,3,2,1 = 2 x 5! = 240
Se eu estiver errado na minha analogia e acertei por coincidência, digam-me onde errei, por favor!
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Bom, você irá utilizar como primeiro algarismo o 5,7 ou o 8. lembrando, quando se tratar da regra do "ou", somaremos os resultados obtidos.
Começando por 5, temos cinco algarismos distintos (1, 2, 5, 7 e 8): 5! = 120.
começando por 7,temos algarismos repetidos ( 5 e 5), dessa forma, faremos da seguinte maneira: 5! / 2! = 60. Você fará da mesma forma quando começar com o 8, sendo assim: 5! / 2! = 60
Agora é somar os resultados encontrados: 120+60+60 = 240.
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Michel, você tem que começando com 8 ou 7 também é maior que 500000...
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Para termos um número maior que 500.000, o primeiro dígito deverá começar por 5, 7 ou 8. Assim, se o primeiro número for o 5, então para as outras 5 posições há uma permutação de números sem repetição:
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Se o primeiro número for 7 ou 8, os outros são uma permutação com uma repetição:
P(2)5 = 5!/2! = 60 (Pois o número 5 repete duas vezes).
Como são duas possibilidades, temos:
2 x 60 = 120
Somando os dois casos, temos um total de 240 senhas.
Resposta: Alternativa D.
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nao entendi essa questao...
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Minha resposta dá 360. Não entendi porque é 240. Seria 3 x 5 fatorial. Pois na verdade o primeiro número pode ser 5, 7 ou 8, afinal, os demais ficaram acima de 500.000.
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se você olhar bem, usamos, para encontrar as possibilidades com o dígito "5", o ARRANJO, e não repetimos o "5" novamente. Só o consideramos uma vez. E para encontrar as possibilidades com o dígito "7" e "8", usamos a PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO, onde o 5 se repete duas vezes. Então, vai ficar 5!/2!. Eu demorei pra encontrar a resposta desse também.
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na minha ipinião o erro estar em falar se a senha pode ser repetida ou não, caso seja repetida seria uma combinação, se nao for repitida seria um arranjo
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*numeros 1, 2, 5, 5, 7, 8
*restrição: > 500.000
* para ser maior que 500.000, poderemos iniciar apenas pelos números (5, 5, 7, 8), sendo 4 possibilidades
logo:
4 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 480
* como temos duas letras que se repetem, deveremos dividir por 2
480/2 = 240
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Acho que muitos erraram, assim como eu, ao fazer tudo como permutação simples. Contudo como bem disse o Leonardo, usaremos permutação com repetição para os números iniciados por 7 e 8. Vejam
5 __ __ __ __ __ __ = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 (aqui não repetimos o 5)
7 __ __ __ __ __ __ = P5² = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 / 2 * 1 = 60 (é necessário permutação com repetição, pois o 5 repete 2 vezes)
8 __ __ __ __ __ __ = P5² = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 / 2 * 1 = 60 (é necessário permutação com repetição, pois o 5 repete 2 vezes)
120 + 60 + 60 = 240
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4x5x4x3x2x1 = 480/2 = 240
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Sem restrições :seis dígitos para seis possibilidades =6! = 720
Com a restrição : 5 5!, 5 5!, 7 5! , 8 5! = 4 × 120= 480 logo, 720-480= 240
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5 . __ . __ . __ .__ . __
1 5 4 3 2 1 = 120
7/8 . __ . __ . __ .__ . __
2 5 4 3 2 1 = 240 ÷ 2! = 120
OBS: haverá repetições de 5 ( 5 . 5 ou 5 . 5 ), é necessário dividir por 2!
120 + 120 = 240
Alternativa (D)
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ótima questão. A chave está no 5, se ele começar o número, eu posso formar 5! números distintos maiores que 500000, no entanto esse processo só pode ser feito 1 vez, já que, se eu usar "o outro dígito 5" no começo do número, eu obtenho os mesmos números que anteriormente. Portanto, começando o número com o dígito 5, eu tenho um total de 120 números possíveis;
se eu começar o número com o 7, as outras 5 posições serão ocupadas pelos dígitos que sobram, porém temos uma repetição, o 5 que aparece duas vezes, portanto será uma permutação de 5!/2! = 60
esse mesmo raciocínio se aplica quando o 8 começa o número, um total de 5!/2! = 60
__________
assim, 120 + 60 + 60 = 240
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Temos 6 números que podem ser utilizados, sendo que o 5 é repetido. Para o primeiro algarismo temos 3 opções (8, 7 ou um dos 5), pois a senha deve ser maior que 500.000. Vamos analisar 2 casos separados:
- quando o primeiro algarismo for 5:
Neste caso, temos 1 possibilidade para o primeiro algarismo e, para os demais, basta calcularmos as permutações simples dos outros cinco números restantes (1, 2, 5, 7 e 8):
1 x P(5) = 5! = 120 possibilidades
- quando o primeiro algarismo for 7 ou 8:
Neste caso, temos 2 possibilidades para o primeiro algarismo, e para os demais temos uma permutação de 5 algarismos com a repetição de 2 números 5, totalizando:
2 x P(5, 2) = 5! / 2! = 2 x 60 = 120 possibilidades.
Ao todo temos 120 + 120 = 240 possibilidades.
Resposta: D