Questão 792544

• Banca: ESAF
• Órgão: Receita Federal
• Ano: 2012
• Provas: ESAF - 2012 - Receita Federal - Auditor Fiscal da Receita Federal - Prova 1 - Gabarito 1
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Probabilidade

O Sr. Ramoile, professor de Estatística aposentado, vem há muito tempo acompanhando os dados sobre custos e faturamento do restaurante de sua filha Cecília. O restaurante funciona todos os dias da semana e o Sr. Ramoile concluiu que: o custo diário do restaurante segue uma distribuição normal, com média igual a R$ 500,00 e desvio- padrão igual a R$ 10,00 e que o faturamento diário, também, apresenta uma distribuição normal, com média R$ 800 e desvio-padrão R$ 20. Como o Sr. Ramoile conhece muito bem os princípios básicos da estatística, ele sabe que, se uma variável Z seguir uma distribuição normal padrão, então Z tem média 0 e variância 1. Ele também sabe que a probabilidade dessa variável Z assumir valores no intervalo entre 0 < Z < 2 - ou seja, entre a média 0 e 2 desvios-padrão - é, aproximadamente, igual a 0,4772. Cecília, muito preocupada com o futuro de seu restaurante, perguntou a seu pai se ele poderia verificar a probabilidade de, em um dia qualquer, o custo ser maior do que R$ 520,00 e o faturamente ficar no intervalo entre R$ 760,00 e R$ 840,00. Após alguns minutos, o Sr. Ramoile disse, acertadamente, que as respectivas probabilidades são, em termos percentuais, iguais a

• A. 2,28; 95,44.
  
• B. 52,28; 95,44.
  
• C. 2,28; 98,69.
  
• D. 98,69; 95,44.
  
• E. 98,65; 2,28.
  

Gabarito: A

Comentários

• ALTERNATIVA: A
  
  Questão trata de distribuição normal.
  Mas vamos lá.
  Ela nos traz duas variáveis para serem analisadas, a variável custo diário e a variável faturamento diário.
  Sobre a variável custo o enunciado nos informa que:
  µ=500
  σ=10
  O que nos dá a seguinte ideia:
   
  A questão pergunta a probabilidade do custo ser superior a R$ 520,00, ou seja, o valor que estamos buscando corresponde às bolinhas vermelhas. Devemos achar o correspondente de 520 na curva Z, então:
  ( x - µ) = (520-500) = 20 = 2 (520 corresponderá a dois desvios-padrão na curva Z)
     σ               10          10 
  como a questão nos dá a informação de que a probabilidade dessa variável z assumir valores no intervalo 0 < Z < 2 - ou seja, entre a média 0 e 2 desvios-padrão - é, aproximadamente, igual a 0,4772 (ou 47,72%), temos que:
  50% - 47,72% = 2,28%
    
  Sobre a variável faturamento:
  µ=800
  σ=20
  Pergunta-se a probabilidade de o faturamento ficar entre 760 e 840, sendo graficamente representado pela curva abaixo:
   Logo   (x₁- µ) = 760 - 800 = -40 = -2 
                   σ              20          20         
  (760 corresponderá a menos dois desvios-padrão na curva Z)
  
  
                ( x₂- µ) = 840 - 800 = 40 = 2 
                    σ             20          20        
  (840 corresponderá a dois desvios-padrão na curva Z)
  
  Como a curva de distribuição normal é simétrica (e que cada lado corresponde a 50%), então o valor de -2 equivale ao mesmo valor de 2, o qual já sabemos que é 0,4772 (ou 47,72 %). Nesse caso ela quer o intervalo compreendido entre esses dois pontos (-2 e 2) então é só somar o módulo dos dois valores:
  |-47,72 %| + |47,72 %| = 95,44 %
  
  Então a resposta é:
  A probabilidade de o custo diário ser maior que 520 é 2,28 % e a do faturamento diário ficar entre 760 e 840 é de 95,44 %, dados presentes na ALTERNATIVA A.
  
   Abraço e bons estudos!
  

• 

  Assim, a probabilidade de X > 520 reais é a mesma probabilidade de Z > 2. Foi dito que P(0<Z<2) = 0,4772. Sabemos também que P(Z>0) = 0,50. Logo, podemos dizer que P(Z>2) = 0,50 – 0,4772 = 0,0228. Ou seja, a probabilidade do custo ser superior a 520 reais é de 2,28%.

  

          Assim, a probabilidade de que o custo esteja entre 760 e 840 é igual à P(-2<Z<2). Como P(0<Z<2) = 0,4772, podemos dizer também que P(-2<Z<0) tem este mesmo valor, devido à simetria da curva normal. Deste modo,

  P(-2<Z<2) = 2 x 0,4772 = 0,9544

                 Assim, a probabilidade de o faturamento estar entre 760 e 840 reais é de 95,44%. Com isso, chegamos à alternativa A

  Resposta: A

• 1) Chance de o custo ser maior que 520.

  O custo segue distribuição normal com média 500 e desvio padrão 10. A variável normal reduzida fica:

  Z=X−μ / σ

  Quando X=520 temos:

  Z=520−500 / 10 =2

  Assim:

  P(X>520)=P(Z>2)

  O enunciado nos informou que a chance de Z estar entre 0 e 2 é de 0,4772. Logo, a área cinza da figura abaixo (que apresenta a função densidade da normal padrão) é igual a 0,4772.

  Como a área a direita de 0 é 50% (pois a função densidade é simétrica em torno de 0), concluímos que a área amarela é de: 0,5−0,4472=2,28%

  Portanto:

  P(X>520)=P(Z>2)=2,28%

  A chance de o custo ser maior que 520 é de 2,28%.

  2) Chance de o faturamento ficar entre 760 e 840.

  O faturamento segue distribuição normal com média 800 e desvio padrão 20. A normal reduzida fica:

  Z=X−μ /σ

  Quando X = 760, Z vale:

  Z=760−800 / 20 =−2

  Quando X = 840, Z vale:

  Z=840−800 / 20 =2

  Logo:

  P(760<X<840)=P(−2<Z<2)

  Se a área entre 0 e 2 é de 0,4772, então a área entre -2 e 2 é o dobro deste valor:

  P(760<X<840)=2×0,4772=0,9544

   

  A chance de o faturamento ficar no intervalo indicado é de 95,44%.

  Resposta: A

• Numa distribuição normal, a probabilidade de x estar entre -s e s é de ≃68%, entre -2s e 2s é de ≃95%. A partir disso, dá pra fazer essa questão de cabeça, esse tempo ganho pode ser fundamental numa prova.