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Resposta D = 5
Cada homem comprimentará 8 mulheres 8*5 = 40
Entre os homens cada um se comprimentará e, ou seja:
1º homem - comprimenta = 4
2º homem - comprimenta = 3
3º homem - comprimenta = 2
4º homem - comprimenta = 1
5º homem - comprimenta = 0 pois já foi comprimentado por todos
Total 10 entre os homens.
Homens + Mulheres = 10 + 40 = 50
Cheguei a esta resposta por tentativa e erro através do gabarito, testei o 4 e depois o 5, o qual me deu a resposta. ( quem não tem cão...caça com gato)
Se alguém souber como se faz com as ferramentas de análise e combinação, por favor nos auxilie.
Bons estudos
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Se todos se cumprimentassem = x + 8
Somente elas = 8 --> Combinação de 8 dois a dois (menos 1). C8,2 - 1 = 27
Cumprimentos dos homens = 50
Concluí que todos teriam se cumprimentado 77 vezes.
Usei uma hipotética combinação de todos se cumprimentando:
C (x+8), 2! -1(menos um) = 77.
x2 + 15x - 100 = 0
Delta = 625
Raízes: -20 e 5. Descarta-se -20, e temos a resposta 5.
O "menos um" sempre fará parte da combinação para excluir o "auto-aperto de mão" rs.
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"Quantos homens haviam?"??
Lamentável.
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Resolvendo "MATEMATICAMENTE":
A combinação de cumprimentos dos homens é dado pela equacao:
Cx,2= X!
(X-2)!2!
Onde x= nº de homens. Faça o teste ai, vc vai ver que para x=2 temos 1 cumprimento, x=2 temos 3 cumprimento etc.
Então, nº de cumprimentos entre os homens + dos homens com as mulheres = 50
Temos que: nº de cumprimentos entre os homens =
Cx,2= X!
(X-2)!2!
dos homens com as mulheres= x.8(mulheres)
Então:
X! + 8.x = 50
(X-2)!2!
X.(X-1).(X-2)! + 8x = 50
(X-2)!2!
Cancelando (X-2)!
X.(X-1) + 8x = 50
2!
Desenvolvendo:
x²+15x-100=0
Resolvendo a equacao encontramos as raizes -20 e 5. Só nos interessa o 5 (positivo), ou vc jah ouviu falar em -20 homens??
Temos então 5 homens.
Pode fazer a prova... Temos A B C D E
A cumprimenta B C D e E = 4
B cumprimenta C D e E =3
C cumprimenta D e E =2
D cumprimenta E =1
Total 10 cumprimentos com mais 8*5 (homens com mulheres) = 50!!
Pulei algumas manipulaçoes algebricas, mas a intenção aqui é explicar o raciocínio para resolver o problema.
Abss
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X HOMENS
8 MULHERES
50 CUMPRIMENTOS
X.X + 8.X = 50 =====> X.X (HOMENS CUMPRIMENTAM HOMENS) + 8.X ( MULHERES CUMPRIMENTAM HOMENS) = 50 CUMPRIMENTOS.
LOGO,
2X + 8X = 50
10X = 50
X= 50
10
X=5. (QUANTIDADE DE HOMENS).
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Como sempre faço confusão criei a seguinte regra:
Na combinação AB=BA, no arranjo AB é diferente de BA e a permutação é o arranjo sem repetição de todos os elementos do grupo.
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A explicação do Elton é muito boa, mas prestem atenção, X.X = 2x
Está errada, o certo é X.X = X²
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Pode não ser pertinente, mas~discordo do comentário da KELI sobre o verbo HAVIAM. O verbo HAVER quando pode ser substituído por TER não é impessoal, logo a oração POSSUI sujeito, e o verbo concorda com o mesmo.
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A resposta do ELTON é a mais sensata, porém como nosso amigo falou, x.x é x² e não 2x.
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Felipe, entendi sua resolução até n² - n + 8n -50 ; porém não vi como você chegou nesse 15x.
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Um homem só pode cumprimentar outro homem diferente e as mulheres.
Logo,
cumprimento entre homens : combinação de x homens 2 a 2
cumprimentos homem-mulher: x * 8
então
x!/((x-2)!2!) = [ x . (x-1) . (x-2)!] / [ (x-2)! 2!]
= x(x-1) / 2
então
x(x-1) / 2 + 8x = 50
x^2 - x + 16x = 100
x^2 + 15x - 100 = 0
resolvendo, x = 5
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Meu comentário pode parecer pouco científico, mas quando se trata de concursos o foco é acertar questões. Pra ganhar muito tempo, bastava utilizar as respostas propostas.
Exemplo: (Número de mulheres X resposta "a" ) + Combinação da respostas "a", tudo isso deve ser igual a 50. Quando a conta igualar a 50, encontramos a resposta.
Situações como essa acontecem com muita frequência. Às vezes, para encontrar a respostas mais plausível não há necessidade de calculo.
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H . H
= X . X-1 ---> (X2 - X) / 2 (divide
-se por dois, pois vai se repetir os homens que já apertaram as mãos)
ou(+)
H . M
= X . 8 ---> 8x
(X2-X/2)+8X=50
---> X2-X+16X=100 --->
X2+15X-50=0 ---> (Bhaskara) ;
encontramos
X=5
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Essa resolução do Gustavo é perfeita, e super simples. Eu não tava conseguindo entender porque que o cálculo dos apertos de mão entre os homens era X.(X-1) e não X.X, mas aí percebi que é porque apesar de você ter um número de homens X, um homem não pode apertar sua própria mão, então ele não pode combinar consigo mesmo.
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Gente todas as respostas apresentadas abaixo contem uma SOMA entre os cumprimentos entre os homens, e o cumprimento dos homens com as mulheres.
Ex1.
X²-X (+) x*8 = 50 ---- Conectivo (ou)
Ex2.
Cx,2 (+) X*8 = 50 ---- Conectivo (ou)
No entanto a questão apresenta o conectivo "e" ao contrário do "ou" - deixando todas essas respostas sem nexo."Os homens cumprimentam-se entre si "E" cumprimentam todas as mulheres, mas as mulheres não se cumprimentam entre si.
Logo:Não posso somar os resultados como apresentados e sim devo multiplica-los.
Dessa forma a questão não apresenta gabarito. Ajudem-me!
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Galera, demorei, mas achei uma resposta bem simples para a questão:
1) Vamos imaginar uma fila com 8 mulheres;
2) Vamos imaginar o 1° homem indo fazer o cumprimento - ele terá que cumprimentar as 8 mulheres, então igual a 8x
3) vamos imaginar o 2° cumprimentando as 8 mulheres + 1 homem e assim sucessivamente...
Resultado: 8+9+10+11+12= 50
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Se todos se cumprimentassem = x + 8
Somente elas = 8 --> Combinação de 8 dois a dois . C8,2
C (x+8), 2 - C8,2 = 50
(x^2 + 7x + 8x + 56) / 2 - 56/2 = 50 => (x^2 + 15x + 56 - 56) / 2 = 50 => x^2 +15x = 100 => x^2 + 15x - 100 = 0
x' = 5 e x'' = - 20
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Temos 10 possibilidades que são os 10 algarismos de 0 a 9.
X homens
8 mulheres ( é só para confundir)
com 50 cumprimentos Qual o número que multiplicado por 10 terá como produto 50?
Então 10 x 5 = 50
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Não existe X*X = 2X
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AQUI TEMOS CLARAMENTE UMA QUESTÃO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA!
PODE REPETIR OS ELEMENTOS? UM HOMEM PODE CUMPRIMENTAR A SÍ MESMO? OBVIAMENTE QUE NÃO, LOGO É ARRANJO OU COMBINAÇÃO. A ORDEM DOS ELEMENTOS FAZ DIFERENÇA? SE UM HOMEM CUMPRIMETAR UM AO INVÉS DE OUTRO VAI FAZER DIFERENÇA? NÃO, LOGO USAREMOS COMBINAÇÃO.
OK. RESPIRA. Nesse tipo de questão envolvendo X, recomendo ir por eliminação.
Já sabendo que a resposta é 5, vamos direto ao ponto para que vc entenda como fazer o calculo e chegar a resposta.
-Fórmula de Combinação:
Cn,p=
n!
p!(n-p)!
Onde, n: Número total de elementos
p: Número de elementos utilizados
Indo para a questão: quero saber a quantidade de homens (X) e vou supor que é 5 (número total de elementos). Veja também que um homem cumprimenta o outro e também as mulheres, logo temos 2 (número de elementos utilizados) apertos de mão, já que uma mão aperta outra. E no total houve 50 apertos de mão. Vamos atrás desse 50.
A Fórmula ficaria: Cx,2 onde x é a quantidade de homens (número total de elementos) e 2 os apertos de mão.
-Substituindo X por 5 ficaria: C5,2 (faça o calculo) dando o resultado de 10
Ou seja 5 homens se cumprimentam totalizando 10 apertos de mão.
-Vamos as mulheres: Elas não se cumprimentam, somente aos homens, logo temos 8 mulheres cumprimentando 5 homens = 8.5 = 40. Ou seja 40 apertos de mão.
Apertos de mão dos Homens entre si =10
Apertos de mão das mulheres entre os homens = 40, Ou seja 10+40 = 50 apertos de mão.
Resposta: 5
Obs: Perceba que há uma pegadinha em ''Os homens cumprimentam-se entre si e cumprimentam todas as mulheres, mas as mulheres não se cumprimentam entre si'', Fazendo entender que há três contas, porém só há duas, que são justamente 10+40.
Vá substituindo o X pelas alternativas até achar a resposta! Bons estudos!