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Tá faltando alguma coisa nesse enunciado? Alguém conseguiu resolver? Help! rsrs
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O enunciado é:
De quantas maneiras podemos colocar 6 pessoas em fila, sabendo-se que duas pessoas se recusam a ficar juntas?
Resolvi assim:
6 pessoas > chamei de A B C D E F > determinei que A e B não podem ficar juntas
A pode estar em 6 posições diferentes:
A _ _ _ _ _
_ A _ _ _ _
_ _ A _ _ _
_ _ _ A _ _
_ _ _ _ A _
_ _ _ _ _ A
Depois verifiquei quantas possibilidades de permutação tem em cada uma:
A 4 4 3 2 1 = 96 (1° preenchi o espaço ao lado do A com 4 opções - CDEF; após, completei os demais espaços)
4 A 3 3 2 1 = 72 (1° preenchi os espaços ao lado do A com 4 e 3 opções; após, completei os demais espaços)
3 4 A 3 2 1 = 72 (1° preenchi os espaços ao lado do A com 4 e 3 opções; após, completei os demais espaços)
3 2 4 A 3 1 = 72 (1° preenchi os espaços ao lado do A com 4 e 3 opções; após, completei os demais espaços)
3 2 1 4 A 3 = 72 (1° preenchi os espaços ao lado do A com 4 e 3 opções; após, completei os demais espaços)
4 3 2 1 4 A = 96 (1° preenchi o espaço ao lado do A com 4 opções - CDEF; após, completei os demais espaços)
Somei os resultados: 96 + 72 + 72 + 72 + 72 + 96 = 480
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O enunciado no QC está errado.
O correto é este:
"De quantas maneiras podemos colocar 6 pessoas em fila, sabendo-se que duas pessoas se recusam a ficar juntas?"
Fiz diferente da Laura. Peguei o total de possibilidades, que seria 6!, que dá 720, e diminuí pela configuração em que as duas estariam juntas.
Elas juntas seria 5! x2 (pois permutam entre si), o que daria 2 x 120 = 240 (possibilidades com elas juntas).
Total menos elas juntas = 720 - 240 = 480.
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Eu não tinha entendido a resolução, então fui pesquisar:
Trate as duas pessoas como uma só. Temos 2!⋅5!
2!⋅5! maneiras diferentes de formar filas com elas juntas (eles podem permutar entre si e permutar entre as 5 pessoas restantes). Agora, basta retirar essa quantidade do total possível de filas que temos a resposta:
6!-2!.5!= 120-240=480
Única coisa que eu não entendi foi o porquê a multiplicação por 2 tem que ser em fatorial, alguém sabe?
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Adriana, a multiplicação não é por fatorial de 2, até porque 2! = 2
as possibilidades delas saírem juntas seria 5! x 2 (pois permutam entre si),
o que seria 2 x 120 = 240
O total da permutação de 6 é: 6! = 720
O Total - as possibilidades de 2 saírem juntas = 720 - 240 = 480
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1° - Denominei os 6 elementos de: "A B C D E F"
2° - Vamos supor que os elementos A e B não possam ficar juntos.
3° - Fiz a Permutação Total de todos os 6 elementos
P6 = 6! = 720
4° - Juntei os elementos A e B como se fossem apenas 1, e fiz a permutação
P5 = 5! = 120
(Não esqueça que: A e B podem se permutar, assim virando B e A. Portanto, realizaremos a permutação deles)
P2 = 2! = 2
120 x 2 = 240
5° - Permutação Total - Permutações onde A e B ficam juntos
720 - 240 = 480✔