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eu acho que 3.450 é o valor nominal do título e não o valor do desconto.
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desconto comercial
t=5 meses
i = 36%a.a= 3%a.m
A¹=N(1-0,03*5)
A¹=0.85N
Desconto Racional
N=A²(1+0,03*5)
N=1,15A²
A²= 1/1,15N
A²=0,8695N
O enunciado evidencia : A²=A¹+ 517,50
Substituindo temos: 0,8695N=0,85N + 517,50
N=517,50/0,0195
N=26538,46
Voltando e substituindo no desconto racional achamos o valor atual = N=A²(1,15) --> 26538,46 = 1,15 A² --> A²= 23076,9271
D= N - A
D= 26538,46 - 23076,9271
D=3.461,53
APROXIMADAMENTE 3.450,00
LETRA E
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Relação entre os descontos Dc= dr x (1+n.i) Dc-> Desc Comercial dr-> Desc Racional
Se a diferença entre eles é 517,50, então dr=dr x (1+n.i) - 517,50
dr=dr +dr * n * i -517,50
dr=517-50 / 5 * 0,03
dr=3.450
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Pra quem não sabe a fórmula de relação entre os descontos:
DCS => A¹ = N (1-in)
A¹ = 0,85 N
DRS => N = A² (1+in)
N = 1,15 A²
Substituindo no DCS
A¹ = 0,85 (1,15 A²) => A¹ = 0,9775 A²
Temos que A² - A¹ = 517,5 => A¹ = A² - 517,5
Então A² - 517,5 = 0,9775 A² = > 0,0225 A² = 517,50 = > A² = 23000
Voltando ao DRS: N = 1,15 A² => N = 26450
D = 26450 - 23000 = 3.450
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Gabarito: Alternativa E de abacatE.
Vamos dá um pouco de português a esses cálculos:
n=5 meses
i=36%aa (se meu tempo está em meses, vou trazer minha taxa para meses, para isso basta dividir por 12. Logo, 3%ao mês, ou 0,03 ao mês). Esses dados são apresentados usando o Desconto Comercial Simples.
Agora, a banca dá os mesmos dados só que na hipótese de usar o DESCONTO RACIONAL SIMPLES. E acrescenta uma valiosíssima informação: o correspondente valor atual superaria o valor atual anterior em R$ 517,50. Matematicamente: Dr= Dc+517,50. Em português:Quando a banca se refere ao correspondente valor atual, ela está falando do valor atual do Desconto Racional Simples, e quando fala em Valor atual Anterior, ela se refere ao Valor Atual do Desconto Comercial Simples e que VALOR ATUAL RACIONAL= VALOR ATUAL COMERCIAL+517,50. Por fim. a banca pergunta: qual é o Valor do obtido com ao utilizar o Desconto Racional Simples?
Então você me pergunta: " E agora, o que faço?"
Veja que eu falei que a equaçãozinha VALOR ATUAL RACIONAL= VALOR ATUAL COMERCIAL+517,50 --- Var=Vac+517,50, era a chave da questão? É por que a base está em encontrar esses valores atuais!!!!
1º) Como encontrar o Valor atual no Desconto Comercial Simples?
Para isso existe uma fórmula básica: Ac=N(1-i x n)
Então vamos encontrar o Ac!!! Ac=N(1-i x n)------ Ac=N(1-0,03x5)------ Ac=0,85N
Eis o nosso Valor Atual Desconto Comercial SImples!!!! Ac=0,85N.
2º) Vamos agora encontrar o Valor atual do Desconto Racional Simples:
N=Ar(1+i x n)------------N=Ar(1+0,03x5)-----------N=1,15Ar---------Ar=N/1,15
Olha ai o nosso Valor Atual Racional Simples= Ar= N/1,15
3º) "Agora o que eu faço?" Olha, já temos os valores atuais do Desconto Comercial e do Racional. Lembram-se da equaçãozinha Ar=Ac+517,50? "Sim, saquei. Vamos Substituir!" Isso mesmo, substituindo...
N/1,15=0,85N+517,50---------- Vamos passar o "1,15" multiplicando tudo o que está do lado direito da igualdade.
N=(0,85N x 1,15) + (517,5x 1,15)------- N=0,9775N +595,125----------- Agora vamos juntar no mesmo lado os "N"
N-0,9775N=595,125-----0,0225N=595,125----------N=595,125/0,0225---------Calma que já estamos terminando.
N=R$26.450,00-------- Esse é o nosso Valor Nominal!!!!!!!!!!! E agora, Agora Vamos encontar o DESCONTO RACIONAL SIMPLES.
N=A(1+i x n) ------------26450=A(1,15)--------A=26.450/1,15=23.000,00
Acabamos de encontrar o Valor Atual Desconto Racional simples, 23.000,00. Também temos o Valor Nominal,26.450,00
"E para achar o Desconto Racional Simples?" Para variar, Vamos usar uma fórmulazinha: Dr= N-A-----Dr=26.450-23000=3450,00.
Logo, o Desconto Racional é de R$3.450,00.
Gabarito: Alternativa E de abacatE.
Treine com Exauxtação até a Perfeição.
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Penso que o caminho mais rápido é:
n=5 meses
taxa=36%a.a<---> 3%a.m
logo:3% x 5=0,15
Dr-517,50=Dc
Aplicando a fórmula Dc=Dr(1 + in)
Substituindo:Dr-517,50=Dr(1 + 0,15)
Dr-517,50=Dr(1,150)
0,15Dr=517,50 Dr=3450
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Ac: valor atual no desconto comercial simples
Ar: valor atual no desconto racional simples
N = ?
t = 5 meses = (5/12) ano
i = 0.36 ao ano
Ac = N*(1-it)
Ar = N/(1+it)
Ar - Ac = 517.5
[N/(1+0.36*(5/12))] - [N*(1-0.36*(5/12))] = 517.5
[N/(1+0.15)] - [N*(1-0.15)] = 517.5
[N/(1.15)] - [0.85N] = 517.5
[(N - 0.9775*N)/1.15] = 517.5
0.0225*N = 595.125
N = 26450
Ar = 26450/(1.15)
Ar = 23000
Dr = N - Ar = 26450 - 23000
Dr = 3450
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Seria bom uma explicação em video é impossível compreender lendo comentarios
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Dados da questão:
n=5 meses
i= 36% a. a = 36%/12 a.m. = 3% a.m.= 0,03
O valor do desconto (D) é a diferença entre o valor
nominal (N) e o valor atual (A), logo:
Desconto comercial - “D”
Desconto racional simples – “d”
D = N – A, ou seja:
A = N - D
Valor atual para desconto comercial:
Ac = N – D
Valor atual para desconto racional:
Ar = N – d
A questão afirma que a diferença entre ambos os
descontos é de 517,50 e o valor atual é o mesmo nas duas situações propostas,
logo:
N – d = 517,50 + (N – Dc)
d = D - 517,50
Da relação entre desconto comercial e desconto
racional simples, temos:
D = d (1+i*t)
Portanto:
d = d (1+i*t) – 517,50
d = d + di*t – 517,50
d –d - di*t = – 517,50
- di*t = – 517,50 (-1)
di*t =517,50
d = 517,50/n*t
d = 517,50/5*0,03
d = R$ 3.450,00
Gabarito: Letra “E”
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Data Venia aos comentários do SAGAPE SAIS, da Patricia e do professor, eu acredito que a resposta que eles chegaram apenas coincidiu com a do gabarito, ou, sendo correto, prolongou demais a resolução da questão.
Ou eu estou enganado, ou a questão NÃO diz que Dr = Dc + 517, 5
A questão diz que Ar = Ac + 517,5
Dessa forma, eu acredito que o entendimento correto a se seguir é o do Geroge Barbalho, o comentário dele ficou grande porque ele explicou através do português, mas se fosse apenas por números seria pequeno.
O comentário dele resumido (só usando números) diz o seguinte:
i = 3%
n = 5
Ar = Ac + 517,5
Ar = N/(1+in) = > Ar = N/1,15
Ac = N(1-in) => Ac = 0,85N.
Substituindo esses valores na equação Ar=Ac+517,5
N/1,15 = 0,85N + 517,5 => multiplicando tudo por 1,15
N = 0,9775N + 595,125
N = 595,125/0,0225 = 26450.
Sabendo o valor de N, só é substituir na equação para se achar o valor de Ar:
Ar = N/1,15
Ar = 26.450/0,85 = 23.000
O desconto é a diferença entre A e N
D = N - A
D = 26.450 - 23.000 = 3450 LETRA E
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Resolução do Prof. Vitor Menezes - mais objetiva que a do QC:
https://exatasparaconcursos.wordpress.com/2014/01/22/resoluo-da-prova-de-matemtica-financeiraicms-rj-2014/
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Se o valor Atual racional > Atual comercial em 517,5 então Deconto comercial > Desconto racional em 517,5
para uma taxa igual a 3% am em 5 meses nos dois casos(racional e comercial)
Assim: Dc = Dr + 517,5 e com a relação padrão Dc = (1+i.t)Dr
Obtemos substituindo: 0,15Dr = 517,5 => Dr = 3450
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Sendo N o valor nominal deste título, A o valor atual, j a taxa de desconto e t o prazo de antecipação
em relação ao vencimento do título, a fórmula do desconto comercial simples nos diz que:
A = N x (1 - j x t)
Com as informações dadas, temos:
A 1 = N x (1 – 3% x 5)
A 1 = 0,85N
Repare que eu usei a taxa j = 3% ao mês, que é equivalente a 36% ao ano no regime simples (basta dividir por 12, que é o número de meses em um ano). Fiz isso porque o prazo foi dado em meses.
No caso do desconto racional simples, a fórmula é:
N = A x (1 + j x t)
N = A 2 x (1 + 3% x 5)
N = A 2 x 1,15
A 2 = N / 1,15
A 2 = 0,8695N
O enunciado disse que caso este título tivesse sido descontado com a utilização do desconto racional simples, o correspondente valor atual (A 2 ) superaria o valor atual anterior (A 1 ) em R$517,50.
Ou seja,
A 2 = A 1 + 517,50
0,8695N = 0,85N + 517,50
0,8695N – 0,85N = 517,50
0,0195N = 517,50
N = 26538,46 reais
Portanto, no caso da operação de desconto racional simples temos o valor nominal N = 26538,46 reais, e o valor atual:
A 2 = 0,8695N = 0,8695 x 26538,46 = 23075,19 reais
Assim, o valor do desconto apurado seria:
D = N – A
D = 26538,46 – 23075,19
D = 3463,27 reais
Temos, aproximadamente (pois fizemos alguns arredondamentos), a resposta da alternativa E.
Observação: Existe uma maneira mais fácil de resolver essa questão. Bastaria lembrar da relação
entre os dois tipos de descontos (seja Dc e Dr os descontos comercial e racional):
Dc = Dr x (1 + n.t)
Sabemos que:
Ac = N - Dc
Valor atual para desconto racional:
Ar = N - Dc
A diferença entre ambos é de 517,50. Logo:
N – Dr = 517,5 + (N – Dc)
Dr = Dc – 517,5
Dc = Dr + 517,5
Dr + 517,5 = Dr x (1 + 3% x 5)
Dr + 517,5 = Dr x 1,15
0,15Dr = 517,5
Dr = 3450 reais
Resposta: E