Questão 1080994

• Banca: FUVEST
• Órgão: USP
• Ano: 2013
• Provas: FUVEST - 2013 - USP - Vestibular - Prova 1
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Geometria Plana; Triângulos

Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A — (0,0), B — (3,4) e C — (8,0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é

• A. (4,16/5)
  
• B. (17/4,3)
  
• C. (5,12/5)
  
• D. (11/2,2)
  
• E. (6,8/5)

Gabarito: D

Comentários

• desenhando a figura, vemos uma relação de triângulos semelhantes: PQB e ABC

  PQ/8 = 4 - q/4 -> PQ para AC tal qual QB está para AB

  PQ = 2.(4 - q)

  área do retângulo é igual PQ.NP = q.2(4 - q) -> o maior valor possível, 8, se dá com q = 2

  agora usamos uma parte da geo. analítica

  a reta BC tem equação y - 0 = -4/5.(x - 8) -> y - yo = m.(x - xo), sendo m = yc - yb/xc - xb

  para y = 2, temos 2 = -4/5.(x - 8)

  x = 11/2

  Letra D

  Fuvest 2023