Questão 1140367

• Banca: ESAF
• Órgão: Receita Federal
• Ano: 2014
• Provas: ESAF - 2014 - Receita Federal - Auditor Fiscal da Receita Federal - Prova 01
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Cálculo de Probabilidades; Variável aleatória contínua; Variável aleatória discreta

Em um cofre estão guardados 5 anéis: dois de ouro e três de prata. Aleatoriamente, retiram-se dois anéis do cofre, um após o outro e sem reposição.Define-se a variável aleatória X iguala 1 se o primeiro anel retirado é de prata, e igual a 0 se este é de ouro. De modo análogo,define- se a variável aleatória Y igual a 1 se o segundo anel é de prata, e 0 se este é de ouro. Desse modo, a covariância de X e Y-Cov ( X,Y)- é igual a:

• A. 0
• B. 1
• C. -1
• D. 3/50
• E. -3/50

Gabarito: E

Comentários

• Temos 2 anéis de Ouro(=0) e 3 de Prata (=1), logo, podemos formar o seguinte grupo com os possíveis sorteios
  X={0,0,1,1,1}

  Posteriormente, sobram 4 anéis que vão ser sorteados para formar o segundo grupo podendo ele ser:
  Se X = 0, então Y pode ser = {0,1,1,1}

  Se X = 1, então Y pode ser = {0,0,1,1}

  Se formarmos os grupos contendo todas as possibilidades de ambos conjuntos, temos que:

  X = {0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}

  Y = {0,1,1,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1}
  
  E formamos o grupo XY da seguinte multiplicando os elementos correspondentes, formando:
  XY = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1}
  
  Assim, podemos calcular a média desses conjuntos:

  média(X) = 12/20

  média(Y) = 12/20

  média(XY)=6/20
  
  E por fim:
  CoV(X,Y) = média(XY) - [média(X)*média(Y)] = -3/50
  

• Temos a seguinte amostra:
  - 2 anéis de ouro
  - 3 anéis de prata
  X = 1 se o primeiro anel é de prata e 0 caso contrário
  Y = 1 se o primeiro anel é de prata e 0 caso contrário
  
  A covariância é calculada por: E(XY) - E(X).E(Y) onde E(X) é a esperança (média) de X e E(Y) é a média de Y
  E(X) = Probabilidade de X ser prata na 1ª retirada = 3/5
  E(Y) = Probabilidade de Y ser de prata após a 1ª retirada
  Cálculo de probabilidade condicional:
  E(Y) = E(Y|X=Prata).P(X=Prata) + E(Y|X=Ouro).P(X=Ouro)
  E(Y) = (2/4).(3/5) + (3/4).(2/5) = (6/20)+(6/20) = 3/5
  
  A variável aleatória Z = X.Y vale 1 se os dois anéis retirados forem de prata, então a gente quer P(Z) = (3/5).(2/4) = 6/20 = 3/10
  Então: E(X.Y) - E(X).E(Y) = (3/10) - (3/5)(3/5) = 3/10 - 9/25 = (75 - 90)/(250) = -15/250 = -3/50
  
  Bom, fazendo desse jeito não precisa contar com o dedo =P seria útil caso houvessem 130 anéis prateados e 73 anéis dourados por exemplo.
  
  - De cara dá pra eliminar o 0, já que é sem reposição, se houvesse reposição certamente seria 0 já que os eventos seriam independentes (pares de eventos independentes geral covariância nula, mas a recíproca nem sempre é verdadeira)
  
  Abçs!

• Construindo a tabela com as f.m.p marginais:

  X\Y           0           1         f.m.p.X

  0             2/20     6/20         8/20

  1             6/20     6/20        12/20

  f.m.p.Y   8/20     12/20          1

  da definição de esperança (valor médio) e covariância (populacional), tem-se

  E[X] = 0(8/20) + 1(12/20) = 12/20

  E[Y] = 0(8/20) + 1(12/20) = 12/20

  E[XY] = (0)(0)(2/20) + (0)(1)(6/20)+ (1)(0)(6/20) + (1)(1)(6/20) = 6/20

  Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 6/20 - (12/20)(12/20) = -3/50

• Lembrando que:

  Cov(X,Y) = E(X.Y) – E(X).E(Y)

                 Para X, temos 3/5 de probabilidade de obter x = 1 (tirar anel de prata), e 2/5 de obter x = 0. Portanto,

  E(X) = 1 x 3/5 + 0 x 2/5 = 3/5

                 Para Y, temos os seguintes casos que levam a y = 1:

  - tirar anel de prata na primeira e também na segunda tentativas: (3/5) x (2/4)

  - tirar anel de ouro na primeira e de prata na segunda tentativa: (2/5) x (3/4)

                 

                 Portanto,

  E(Y) = 1 x (3/5) x (2/4) + 1 x (2/5) x (3/4) = 3/5

                 Para X.Y, temos um único caso onde X.Y = 1, que é quando X = 1 e Y = 1, ou seja, quando tiramos anel de prata no primeiro e no segundo lançamento, cuja probabilidade é (3/5) x (2/4) = 3/10. Assim,

  E(X.Y) = 1 x 3/10 = 3/10

                 Assim, a covariância é:

  Cov(X,Y) = E(X.Y) – E(X).E(Y)

  Cov(X,Y) = 3/10 – (3/5) x (3/5)

  Cov(X,Y) = 30/100 – 36/100

  Cov(X,Y) = -6/100 = -3/50

  Resposta: E

• https://exatasparaconcursos.wordpress.com/2014/05/13/resoluo-da-prova-de-raciocnio-lgicoafrfb/

  pula 43:30

• E(x) = 3/5

  E(y) = ( 3/5 * 1/2 ) + ( 2/5 * 3/4) = 6/10

  E(xy) = 3/5 * 1/2 = 3/10

  COV(xy) = E(xy) - E(x).E(y)

  COV(xy) = 3/10 - ( 3/5 * 6/10 ) = -3/50

• ESTOU ORANDO PELA ALMA DE VCS QUE SABEM RESOLVER ESSAS COISAS...