Questão 1194244

• Banca: CESPE / CEBRASPE
• Órgão: STF
• Ano: 2013
• Provas: CESPE - 2013 - STF - Analista Judiciário - Estatística
• Disciplina: Estatística
• Assuntos: Estatística descritiva (análise exploratória de dados); Medidas de Dispersão (Amplitude, Desvio Médio, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação)

       Pedro e João são os oficiais de justiça no plantão do fórum de determinado município. Em uma diligência distribuída a Pedro, X é a variável aleatória que representa o sucesso (X = 1) ou fracasso (X = 0) no cumprimento desse mandado. Analogamente, Y é a variável aleatória que representa o sucesso (Y = 1) ou fracasso (Y = 0) de uma diligência do oficial João.

Com base nessa situação hipotética e considerando a soma S = X + Y, e que P(X = 1) = P(Y = 1) = 0,6 e E(XY) = 0,5, julgue o  item  que se segue, acerca das variáveis aleatórias X, Y e S.


A variância da soma aleatória S é igual a 0,48.

• C. Certo
• E. Errado

Gabarito: E

Comentários

• A questão é sobre variáveis aleatórias bidimensionais discretas.

  Para calcular a variância de S, utilizaremos a fórmula da var(x+y).

  var(x+y) = var(x) + var(y) + 2 * [E(xy) - E(x).E(y)]

  var(x) = E(x^2) - E(x). E(x) = 0*0,4 + 1*0,6 = 0,6 e E(x^2) = 0^2*0,04 + 1^2*0,6 = 0,6. Dai, var(x) = 0,24

  var(y) = 0,24 (X e Y tem as mesmas probabilidade para 0 e 1)

  var(x+y) = 0,24 + 0,24 + 2*[0,5-0,6*0,6] = 0,76

  O valor de 0,48 é um peguinha para aplicarmos a distribuição binomial: n*p*(1-p).

  
  

• Gabarito: errado

  lembrando que: var(X) = p*q ou p*(1-p)

  var (X + Y) = var(X) + var(Y) + 2cov(X,Y)

  var (X + Y) = 0,6*0,4 + 0,6*0,4 + 2cov(X,Y)

  var (X + Y) = 0,48 + 2cov(X,Y)

  faltou somar com a covariância (que seria 0 se fossem variáveis independentes, como a questão não diz isso, não podemos considerar que sejam), por isso, gabarito errado.

• COV (x,y) = E(xy) - E(x) x E(y)

  COV(x,y) = 0,5 - 0,6 x 0,6 = 0,14

  _______________________________

  Var(x) = Var (y) = p * q = 0,6 * 0,4 = 0,24

  _______________________________

  Var (S) = var(x) + var(y) + 2 cov(x,y)

  Var(S) = 0,24 + 0,24 + 2 * 0,14

  Var(S) = 0,76

• COV(X,Y) = E(XY) - E(X) . E(Y)

  COV(X,Y) = 0,5 - 0,6 x 0,6 = 0,14

  VAR(S) = VAR (X+Y) = VAR(X) + VAR(Y) + 2.COV(X,Y)

  = 0,24 + 0,24 + 2 . 0,14 = 0,76

• Chover se consigo ajudar:

  esse negócio de só somar variâncias é para VARIÁVEIS INDEPENDENTES

  e como saber se elas são INDEPENDENTES nessa questão?

  Se são INDEPENDENTES, E(XY) = E(X).E(Y).

  E(XY) = 0,5

  0,5 = 0,36 (Logo, NÃO SÃO INDEPENDENTES).

  Agora usa a outra fórmula de somar variâncias: var1 + var 2 + 2*cov

  se eu falei merd4, DENUNCIA.

• GAB E

  Questão muito boa pra trabalhar VAR do resultado da soma de duas variáveis aleatórias.

  1- Se forem independentes: VAR X + VAR Y

  2- Se forem dependentes (como no caso da questão): VAR X + VAR Y + 2.COV(X,Y)

  Primeiramente, as variáveis seguem distribuição de Bernoulli. Isso quer dizer que a variância tanto de X quanto de Y é dada por p.q(0,6 . 0,4). Assim, VAR X = 0,24 e VAR Y = 0,24. Só falta encontrar "2.COV(X,Y).

  A COV é dada por E(XY) - EX . EY -> 0,5 - 0,6 . 0,6 = 0,14.

  Assim, VAR(S) = 0,24 + 0,24 + 2 . 0,14

  = 0,76

  "A variância da soma aleatória S é igual a 0,48."

  ERRADO, a variância da variável S não é 0,48, mas sim 0,76.

• BERNOULLI (sucesso e fracasso)

  Bernoulli

  var = p.q

  0.6*0.4 = 0.24

  COVARIANCIA (XY) = E(XY) - E(X) * E(Y)

  COVARIANCIA (XY) = 0.5 - 0.6*0.6 = 0.14

  VAR(X+Y) = VAR (X) + VAR (Y) + 2*COVARIANCIA (XY)

  usa a covariancia pq a questao não disse que eram independentes

  VAR (X+Y) = 0.24 + 0.24 + 2*0.14

  VAR (X+Y) = 0.48 + 0.28

  VAR (X+Y) = 0.76

  se tiver algum erro me avisem. to cansadona :)