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A questão é sobre variáveis aleatórias bidimensionais discretas.
Para calcular a variância de S, utilizaremos a fórmula da var(x+y).
var(x+y) = var(x) + var(y) + 2 * [E(xy) - E(x).E(y)]
var(x) = E(x^2) - E(x). E(x) = 0*0,4 + 1*0,6 = 0,6 e E(x^2) = 0^2*0,04 + 1^2*0,6 = 0,6. Dai, var(x) = 0,24
var(y) = 0,24 (X e Y tem as mesmas probabilidade para 0 e 1)
var(x+y) = 0,24 + 0,24 + 2*[0,5-0,6*0,6] = 0,76
O valor de 0,48 é um peguinha para aplicarmos a distribuição binomial: n*p*(1-p).
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Gabarito: errado
lembrando que: var(X) = p*q ou p*(1-p)
var (X + Y) = var(X) + var(Y) + 2cov(X,Y)
var (X + Y) = 0,6*0,4 + 0,6*0,4 + 2cov(X,Y)
var (X + Y) = 0,48 + 2cov(X,Y)
faltou somar com a covariância (que seria 0 se fossem variáveis independentes, como a questão não diz isso, não podemos considerar que sejam), por isso, gabarito errado.
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COV (x,y) = E(xy) - E(x) x E(y)
COV(x,y) = 0,5 - 0,6 x 0,6 = 0,14
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Var(x) = Var (y) = p * q = 0,6 * 0,4 = 0,24
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Var (S) = var(x) + var(y) + 2 cov(x,y)
Var(S) = 0,24 + 0,24 + 2 * 0,14
Var(S) = 0,76
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COV(X,Y) = E(XY) - E(X) . E(Y)
COV(X,Y) = 0,5 - 0,6 x 0,6 = 0,14
VAR(S) = VAR (X+Y) = VAR(X) + VAR(Y) + 2.COV(X,Y)
= 0,24 + 0,24 + 2 . 0,14 = 0,76
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Chover se consigo ajudar:
esse negócio de só somar variâncias é para VARIÁVEIS INDEPENDENTES
e como saber se elas são INDEPENDENTES nessa questão?
Se são INDEPENDENTES, E(XY) = E(X).E(Y).
E(XY) = 0,5
0,5 = 0,36 (Logo, NÃO SÃO INDEPENDENTES).
Agora usa a outra fórmula de somar variâncias: var1 + var 2 + 2*cov
se eu falei merd4, DENUNCIA.
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GAB E
Questão muito boa pra trabalhar VAR do resultado da soma de duas variáveis aleatórias.
1- Se forem independentes: VAR X + VAR Y
2- Se forem dependentes (como no caso da questão): VAR X + VAR Y + 2.COV(X,Y)
Primeiramente, as variáveis seguem distribuição de Bernoulli. Isso quer dizer que a variância tanto de X quanto de Y é dada por p.q(0,6 . 0,4). Assim, VAR X = 0,24 e VAR Y = 0,24. Só falta encontrar "2.COV(X,Y).
A COV é dada por E(XY) - EX . EY -> 0,5 - 0,6 . 0,6 = 0,14.
Assim, VAR(S) = 0,24 + 0,24 + 2 . 0,14
= 0,76
"A variância da soma aleatória S é igual a 0,48."
ERRADO, a variância da variável S não é 0,48, mas sim 0,76.
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BERNOULLI (sucesso e fracasso)
Bernoulli
var = p.q
0.6*0.4 = 0.24
COVARIANCIA (XY) = E(XY) - E(X) * E(Y)
COVARIANCIA (XY) = 0.5 - 0.6*0.6 = 0.14
VAR(X+Y) = VAR (X) + VAR (Y) + 2*COVARIANCIA (XY)
usa a covariancia pq a questao não disse que eram independentes
VAR (X+Y) = 0.24 + 0.24 + 2*0.14
VAR (X+Y) = 0.48 + 0.28
VAR (X+Y) = 0.76
se tiver algum erro me avisem. to cansadona :)