Questão 1198891

• Banca: CEPERJ
• Órgão: SEDUC-RJ
• Ano: 2013
• Provas: CEPERJ - 2013 - SEDUC-RJ - Professor - Matemática
• Disciplina: Matemática
• Assuntos: Progressão Geométrica - PG; Progressões

A quantia de R$ 475,00 foi dividida em três parcelas. Sabe-se que essas três parcelas formam uma PG (Progressão Geométrica) e que a maior parcela, assim distribuída, é de R$ 225,00. Dessa forma, o valor da menor parcela, em reais, é:

• A. 100
• B. 110
• C. 120
• D. 130
• E. 140

Gabarito: A

Comentários

• É sabido que a fórmula de uma PG é:
  
  a_n = a₁qn-1
  
  Sabe-se que essas três parcelas formam uma PG, e que somando todas elas, encontramos 475 reais. A terceira parcela vale 225 reais, logo: 
  
  
  x + xq + xq² = 475
  
  
  Onde "q" é a razão da PG, continuando:
  
  
  
  x + xq + 225 = 475
  x + xq = 475 - 225 
  x + xq = 250
  
  
  Assim, sabemos que :
  
  
  xq² = 225
  x + xq = 250
  
  
  Logo:
  
  
  x.(q²) = 225            (1)
  x.(1+q) = 250         (2)
  
  
  Dividindo-se (2) por (1):
  
  
  (1 + q)  / 10 = q² / 9
  9(1 + q) = 10.q²
  
  9 + 9q = 10.q²
  10.q² - 9q - 9 = 0 
  
  
  Resolvendo por Bhaskara, encontraremos duas raízes:
  
  
  q' = 3/2
  q" = -3/5 (Não serve)
  
  
  Substituindo:
  
  
  x.q² = 225
  x.(3/2)² = 225
  x . 9/4 = 225
  x = 100
  
  Resposta: Alternativa A.

• Gabarito: a
  
  Muitas vezes trabalhar em cima das alternativas é o jeito mais fácil.
  
  Sabe-se que a1 + a2 + 225 = 475 => a1 + a2 = 250
  
  Substituindo pelos valores das alternativas:
  
  100 + a2 = 250 => a2 = 150 => razão da PG = 1,5
  
  Pergunta: se essa razão for multiplicada por a2, encontra-se a3, ou seja, 225? Sim, então essa é a resposta. Se não desse 225, teria-se que continuar seguindo com as alternativas até achar a resposta correta.

  
  

• x + xq + xq² = 475
  x + xq + 225 = 475
  x + xq = 475 - 225 = 250
  
  Temos, portanto:
  xq² = 225
  x+xq = 250
  
  x.(q²) = 225 ....... (I)
  x.(1+q) = 250 .... (II)
  
  Dividindo-se (II) por (I), vem:
  
  x(1+q) ... 250 ..... 10
  -------- = ------ = ------
  x.q² ...... 225 ...... 9
  
  1+q .'.. 10
  ----- = -----
  _q² ..... 9
  
  9(1+q) = 10.q²
  9 + 9q = 10.q²
  10.q² - 9q - 9 = 0
  
  Resolvendo por Bhaskara, obtemos:
  q' = 3/2
  q" = -3/5 (inadequada)
  
  Logo, fica:
  x.q² = 225
  x.(3/2)² = 225
  x . 9/4 = 225
  x = 225 : 9/4 = 225 . 4/9 = 900/9
  x = 100

   

  fonte: http://pir2.forumeiros.com/t73004-progressao-geometrica

• x/r + x + x*r = 475

  x/r + x + 225 = 475

  x/r + x = 250

  x + xr/r = 250

  2x = 250

  x = 125

  _________

  
  

  225 - 125 = 100 (letra A)